求函数零点问题的基本方法

王艳双

新课改使高中课程发生很大的变化，减少和增加了很多内容，其中增加了函数零点问题。函数零点涉及到很多方法：如等价转化、函数方程、数形结合等思想方法，还有近似求函数零点方法——二分法这些成为求函数零点的基本策略。

一、求函数的零点

例1求函数y=x2-（x<0）2x-1（x≥0）的零点。

解：令x2-1=0（x<0），解得x=1，

2x-1=0（x≥0），解得x=。

所以原函数的零点为和-1和。

点评：求函数f（x）的零点，转化为方程f（x）=0，通过因式分解把方程转化为一（二）次方程求解。

二、判断函数零点个数

例2求f（x）=x-的零点个数。

解：函数的定义域（-∞，0）∪（0，＋∞）。

令f（x）=0即x-=0，

解得：x=2或x=-2。

所以原函数有2个零点。

点评：转化为方程直接求出函数零点，注意函数的定义域。

三、根据函数零点反求参数

例3若方程ax-x-a=0有两个解,求a的取值范围。

析：方程ax-x-a=0转化为ax=x+a。

由题知，方程ax-x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=ax与y=a+x 有两个不同的交点，如图所示。

（1）0

此种情况不符合题意。

（2）a>1。

直线y=x+a 在y轴上的截距大于1时，函数y=ax与函数y=a+x 有两个不同的交点。

所以a<0与0

点评：采用分类讨论与用数形结合的思想。

四、用二分法近似求解零点

例4求函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点（精确到0.1）。

解：（1）第一步确定零点所在的大致区间（a，b），可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间。

（2）列表如下：

零点所在区间中点函数值 区间长度

（1，2）f（1.5） >0 1

（1，1.5） f（1.25） <00.5

（1.25,1.5） f（1.375） <00.25

（1.375,1.5） f（1.438）>0 0.125

（1.375,1.438） f（1.4065）>0 0.0625

可知区间（1.375，1.438）长度小于0.1，故可在（1.375，1.438）内取1.4065作为函数f（x）正数的零点的近似值。

点评：用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点。当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点。

（承德县第一中学）