用二元一次方程组巧解古代数学名题

马三丽

学习二元一次方程组，能解决生活中不少实际问题，并能学到新的数学模型和消元转化思想。而有关二元一次方程组的一些名题趣题，更是来源于生活。现将二元一次方程组解应用题的步骤归纳如下：

（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x、y）表示题目中的两个未知数；（2）找出能够表示应用题全部含意的两个相等关系；（3）根据两个相等关系列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组；（4）解这个二元一次方程组，求出未知数的值；（5）检查所得结果的正确性及合理性；（6）写出答案。

人们运用方程组解决含有多个未知数的问题已有很长的历史，这个问题对于古代数学的发展起了重要的促进作用，现代高等代数中的许多内容都起源于对线性方程组的研究。中国古代数学在方程及方程组方面也有许多成果，例如，著名的“鸡兔同笼”问题就可以利用二元一次方程组解决多元问题，《九章算术》等古代数学著作中也记载了有关方程组的一些内容，它们体现了人类对客观世界中数量关系的不断探究，从中可以看出人类追求真理的长期努力，折射出科学的源远流长。在教学中，除关注在数学知识和能力方面得到提高之外，还应关注传承数学文化方面的工作，结合二元一次方程组的内容进一步挖掘其文化内涵，使学生再次受到数学文化的熏陶。对数学思想方法的领悟与运用渗透在整个初中阶段的数学学习过程中，是克服题海战术，取得优异成绩的有效策略。在列二元一次方程组解应用题中，若能灵活运用数学思想方法来求解，将能起到事半功倍的效果。本文结合例题加以分析，希望对教学有所帮助。

大约在一千八百年前，我国著名的算术书——《孙子算经》中有一道流传久远的名题，原文是：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何？”

分析：这是鸡兔同笼问题，题中有两个相等关系：一是鸡的头加上兔子的头共35个，二是鸡的脚加上兔子的脚共64个。设出鸡和兔子的个数，根据相等关系列出方程即可解得。

解：设鸡有x只，兔子有y只，根据题意，得

x+y=352x+4y=94 解得x=23y=12

答：鸡有23只，兔子有12只。

《孙子算经》中的另一道名题：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？

解：设长木长x尺，引绳长y尺，根据题意，得

y-x=4.5x-y=1解得x=6.5y=11

答:长木长6.5尺。

世界著名的算术书《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步。走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？

分析：本题可以看做是一道行程问题，题中的相等关系是两者走的步数相等。

解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意，得

x:y=100:60x=y+100解得x=250y=150

答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人。

我国民间流传的数学名题：

题1：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：这里的斤是指市斤，1市斤=10两）

解：设x个人分y两银子，根据题意，得

7x-y=7y-5x=5 解得x=6y=35

答：有6人分35两银子。

题2：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个，请问君子知道否，几个老头几个梨？

解：设有x个老头，y个梨，根据题意，得：

x=y-12x=y+2 解得x=3y=4

答：有3个老头，4个梨。

另外：附解答应用题心得。

（1）读懂题意，把不相关的语言精简掉，现在应用题考的不是数学，而是语文的阅读能力。

（2）巧设未知数。一道应用题中可以把几个量都设为未知数，但是哪一个更为简便，要仔细斟酌。

（3）根据等量关系列出方程。

（4）解方程。此时可能会遇到两个未知数，而只能列出一个方程，我们就要看看是不是还有隐含条件，比如人数、物体的个数，都要是正整数，这就是隐含条件，尤其在不等式方程中要用到。还有就是分式方程要验根。

（5）写清单位和答话。这一步往往被忽视，其实这一步恰恰反映出你是否读懂了题目，是否知道题目要求的是什么，在考试中是要占分数的。

（6）勤加练习，熟能生巧。只有不断练习，才能触类旁通，举一反三。

（通渭县第二中学）