函数思想在数列解题中的应用

温满江

随着新课程改革的实施与不断创新，近几年来，数列与函数的综合已成为高考命题的重点与热点，两者交融的试题常常作为学生综合能力考查的把关题。因此，在解决数列问题时，应充利用函数有关知识，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列与函数的综合问题。

一、理清数列与函数的关系

从函数观点来看，数列是一类定义在正整数集或的有限子集｛1，2，…n｝上的一些特殊函数，当自变量从小到大依次取值时，an即为所对应的一列函数，而数列的通项公式、求和公式也就是相应函数的解析式。可见，任何数列问题都蕴涵着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。特别地，对于等差数列的前n项求和公式与二次函数联系相当紧密，一般都是按照求二次函数的最值方法来求数列前n项和的最值问题。同时，等比数列的通项公式及前n项求和公式也与我们非常熟悉的指数函数联系相当紧密。

二、巧助函数解析式解决数列问题

数列是特殊的函数，由已知的函数解析式巧解数列问题是函数与数列交汇的基本形式体现。一般地，解决此类问题，主要是要对数列的通项公式及前n项和公式的特殊函数关系这一概念的理解与分析，进而合理地找到解决问题的主要思路和方法。

例1设函数f（x）=，求和s=f()+f()+…+

f()。

解析：我们知道，函数f（x）=具有一个重要特性，即

f（1-x）+f（x）=1，因此可利用这一特性解决求和的相关问题。

解：因为f（x）=，所以f（1-x）===，

所以由f（1-x）+f（x）=1可知，有

s=f()+f()+…+f()， ①

s=f()+f()+…+f()。 ②

①+②得2s=2001，

即s=。

三、借助函数性质解决数列问题

函数性质是函数特征的显性反映，深入了解并利用函数的性质可以大大简化解题过程，会收到事半功倍的良好效果。如函数的单调性、周期性、奇偶性以及函数图像等特殊性质在数列中应用非常广泛。数列的通项公式就是一个函数表达式，求数列的最大项和最小项需要分析数列的函数性质，找准单调区间，或画出图像观察最高点和最低点。求数列的最大项或最小项时，通常有两种方法：一是考查数列的单调性；二是做出数列的点列图形。通过下面这些问题的分析，不但可以使学生进一步巩固函数的性质，而且可以提高学生解决数列问题的能力，进而培养学生全面分析问题与综合应用数学知识解决问题的能力。

例2等差数列｛a｝中，Sn是它的前n项和。已知a5=10，Sn=3，求证：数列｛Sn｝是单调递增数列。

解析：本题主要考查了数列的通项公式、前项和及函数性质，因此可先求出，再利用二次函数的性质来考虑单调性。

证明：设等差数列的公差为d，则利用等差数列的通项公式易得a1=-2，d=3，将其代入前n项和公式中有Sn=n2-n=（n-）2-。

设Sn对应函数为：y=（x-）2-，

则由二次函数性质易知当x≥时，函数y=（x-）2-为增函数。

所以，当n≥2时，有Sn+1≥Sn。

另一方面，由Sn=（n-）2-可知Sn的最小值在n=1时取得，即（Sn）min=S1，从而有S1

所以，数列｛Sn｝是单调递增数列。

四、结合函数图像解决数列问题

通常，函数图像是函数特征的直观体现，利用图像解决数学问题（数形结合）是我们经常采用的手段。因此，在解决数列问题时，我们利用数列通项公式、前n项和公式中所反映的函数图像来解决问题，常常会起到意想不到的效果。

例3 已知an=，则在数列｛an｝的前30项中，最大项和最小项分别是（ ）。

A. a1，a30 B. a1，a9 C. a10，a9 D. a10，a30

解：通过常数分离，可将an=分离为部分分式an=1+。

如图所示，类似反比例函数的图像，显然a9最小，a10最大。故选C。

通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视函数思想的渗透，应该把函数概念、图像、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高。另外，对上述问题还有许多其他的解法，我们应注意引导与发散，从而进一步提高学生分析问题与解决问题的能力。

总之，数学方法是提高学生分析问题和解决问题的主要基础，也是培养学生数学意识的主要阵地。为此，我们在教学中必须树立与时俱进的教育观念，通过创设愉悦、和谐的教学氛围，设计符合学生认知特点的问题，通过问题教学有效启发学生思维，调动学生学习积极性，发挥学生学习潜能，培养其思维能力，促进学生全面发展，唤起学生的创新意识，最终在教学活动中努力提高学生的学习能力。

（通渭县第二中学）