莫比乌斯圈不是三维物体

王宪

【摘要】本文通过对莫比乌斯圈和普通环圈的制作过程与生成机理的比较后发现：莫比乌斯圈不是三维物体；再通过对生成莫比乌斯圈的不同方式的叙述，最终得出莫比乌斯圈不是三维物体的结论；如果能够确定莫比乌斯圈不是三维物体，对正确认识莫比乌斯圈有现实意义.（因为我国正在小学教育阶段推进介绍和认识莫比乌斯圈）

【关键词】莫比乌斯圈；主体坐标系；从属坐标系；双重三维坐标；非三维物体；合成运动

一、关于莫比乌斯圈

1蹦比乌斯圈的形成

莫比乌斯圈是由［德国］数学家莫比乌斯先生在150年前公布于世的.

随后，科学家就把莫比乌斯圈定位在数学领域的拓扑学分支里，其数学定义：单侧的、闭路的、反转定向的曲面.这样的莫比乌斯圈最终只剩下一个“表面”和一条“边缘”了.（见图1下部和图2）

2蹦比乌斯圈与普通环圈不同

经过观察不难发现：普通环圈和莫比乌斯圈除了在制作方法和制作过程上完全不同以外，还表现在——如果在普通环圈和莫比乌斯圈的表面划线并沿线进行裁剪，其裁剪结果竟会完全不同.

当对普通环圈的表面划线并沿线裁剪时，能得到也只能得到——若干个与原圈等周长的“窄”普通环圈，而不会得到其他种类的环圈.

当对莫比乌斯圈的表面划线并沿线裁剪时，其裁剪结果却有两种：

（1）在莫比乌斯圈表面划一条中线并沿线将该圈剪开，会得到一个比原圈周长长一倍、比原圈宽度窄一半的普通环圈（见图3）.

（2）在莫比乌斯圈表面划2条平均分布的等距离线条并沿线条将该圈剪开，则不仅能得到一个比原圈周长长一倍、比原圈宽度窄23的普通环圈，同时还能在其中心部位再得到一个单独的、比原圈宽度窄23，且周长与原圈等长的“窄”莫比乌斯圈（见图4）.

（以上关于莫比乌斯圈的裁剪结果已经成为所有中外数学书籍里，对莫比乌斯圈进行介绍的一部分）唯此，从莫比乌斯圈和普通环圈的制作方法与裁剪结果的不同可以说明，它们并不是同类物体！

二、莫比乌斯圈不是三维物体

为了证明普通环圈与莫比乌斯圈不是同类物体，下面通过两种不同的制作和生成该两种环圈的方法来比较并进一步证明.

1钡谝恢种谱骱蜕成方法

制作普通环圈的方法如前文（1以及图1）中描述的步骤进行.

而制作和生成莫比乌斯圈则需要通过两个相互关联的三维坐标系统（下文称双重三维坐标体系）来共同完成的.

首先，看第一个三维坐标系（xOy）（下文称主导三维坐标系）（见图5）.其原点位置为O，该主导三维坐标系x-y平面上有一个以O为圆心的“正圆”.该“正圆”就是莫比乌斯圈表面中心位置的基本轨迹线.

其次，看第二个三维坐标系（x′O′y′）（下称从属三维坐标系）（见图6）.该从属三维坐标系的原点位置为O′，处在主导三维坐标系内的“正圆”与x轴的交点上，从属三维坐标系内x′—y′平面上的设定目标可以绕O′进行有规则运动.但该设定目标的有规则运动必须按照主导、从属两个三维坐标系之间相互依存，对应旋转、位移、扭转的特殊函数关系进行.

必须明确的是：主导和从属三维坐标系在立体空间具体的相对位置关系上是相互平行或垂直的（见图5，6），其中（xOy）的三个参数（xn，yn，zn）为自变量，（x′O′y′）的三个参数（x′n，y′n，z′n）为因变量，且主体和从属三维坐标系之间应服从（x′，y′）=F（x，y）的对应关系.

这就建立了具有相互依存关系的双重三维坐标系统.在该系统里，整个从属三维坐标系是主导三维坐标系里的一个整体运动单元，随主体三维坐标系做有规律的运动——公转；而从属三维坐标系里运动单元自身的运动，则与主导运动有着严格的对应受控运动关系——自转.因此，处在该系统内设定目标的最终运动形式为合成运动.（既有公转，又有自转）

图7是从属三维坐标系整体在（xOy）x—y平面上，沿“正圆”轨迹移动的示意图.（图中未画出0°~45°等处对应图形）

在图8里有一个左边带小圆圈的“⊥”形符号，该符号中的竖直线是一条起始于O′点，且垂直于x′轴，同时，它又是一条既平行于（xOy）z轴，也平行于（x′O′y′）y′轴的直线.另外，该符号中左边带小圆圈的横线是一条既平行于（xOy）x轴，也平行于（x′O′y′）x′轴，且属于该x′轴的一条直线，并且该直线的中点过（x′O′y′）原点坐标O′，且垂直y′轴的直线.

下面就以图8中“⊥”形符号作为基本单元来描述生成莫比乌斯圈的过程：当从属三维坐标系整体在（xOy）x—y平面内绕O旋转2°（或1°）的同时，（x′O′y′）内x′—y′平面上过O′的直线也对应旋转1°（或0.5°）.当从属三维坐标系整体沿（xOy）x—y平面上的基圆旋转、位移一周（360°）回到起始点O时，左边带小圆圈的“⊥”形符号也在x′—y′平面上绕O′旋转半周（180°）回到起始位置O′，此时该符号却正好被颠倒过来（见图8）.如果将双重三维坐标体系中被逐渐位移、旋转的“⊥”形符号的空间中各点依次顺序连接起来，就可以生成标准的莫比乌斯圈.（用“⊥”形符号的目的是使读者易于观察）

由此看出：生成莫比乌斯圈必须由相互依存的双重三维坐标体系共同完成，单独的三维坐标系无法生成莫比乌斯圈.（理由一）

2钡诙种制作和生成方法

制作和生成普通环圈可以用下面的方式：先在主导三维坐标系的x—y平面内生成以原点O为圆心的“正圆”，然后在z轴的“正、负”方向上对“正圆”进行拉伸，就可以制作和生成普通环圈（见图9）.

制作和生成莫比乌斯圈可以这样完成：以x轴和“正圆”的交点为（x′O′y′）的原点O′，将已生成的外表面是蓝颜色的、内表面是红颜色的普通环圈剪开.

在（x′O′y′）的x′—y′平面内，以原点O′为扭转中心，对普通环圈的一个端头进行有规律的对应扭转，其对应扭转规律为：（x′O′y′）沿（xOy）在X—Y平面内连续旋转的同时，将（x′O′y′）内x′—y′平面上的普通环圈肌体的对应段进行对应扭转；当（x′O′y′）整体沿（xOy）基圆在x—y平面上旋转、位移一周（360°）回到起始点O时，普通环圈的肌体也在x′—y′平面上绕O′扭转半周（180°）回到起始位置O′，该环圈的肌体表面正好被翻转过来，也就生成了莫比乌斯圈.（图10是电脑用此法生成的莫比乌斯圈）

从图10中可以看到：设定目标的运动结果是由双重三维坐标体系中各坐标轴参数之间相互影响、连续变化的结果.正是这个相互影响和连续变化，才使得莫比乌斯圈的肌体上根本无法找到二维、三维线段或曲线.唯此足可以证明：莫比乌斯圈不是三维物体！（理由二）

三、莫比乌斯圈是“非三维”产物

下面用图5，6，7，8，9，10来进一步证明莫比乌斯圈不是三维产物.

（1）在图5的双重三维坐标体系中（xOy）的三个平面与（x′O′y′）的三个平面之间有着一一对应的关系.

（2）当图6里（x′O′y′）的x′—y′平面上y′轴的数值发生变化时，必然会影响并导致（xOy）的x—z平面上z轴的数值产生变化（其余轴类推），最终导致整个双重三维坐标体系内所有数轴上的数值发生变化.

（3）当图7中（xOy）的x—y平面上，以原点O为圆心旋转，则（x′O′y′）里z′轴上的数值就会发生变化，这就必然导致（xOy）里各个数轴上的各数值直接或间接参与了、或发生了变化！

（4）当图8中的“⊥”形符号整体沿x—y平面上绕O旋转360°的同时，还在x′—y′平面内绕O′对应扭转180°，如果连接该符号在空间相互对应的各个点，就会产生一种空间弧线.（该空间弧线不能产生于单独的三维坐标体系.因为在单独的三维坐标体系产生的空间弧线一定是某种对称旋转体表面的对称母线，而该空间弧线则需经受六个维度上的扭曲变形.）（理由三）

（5）这里假设图9所生成的普通环圈外表面是蓝颜色的，内表面是红颜色的.按照图10的方式对其进行剪断（假设剪断处位于从属三维坐标系的原点O′），将该环圈的各对应部分在双重三维坐标系统内进行有规律的绕O旋转360°和绕O′扭转180°，并最终回到O′.此时，该普通环圈已经被变化成莫比乌斯圈.唯此可以证明：“非三维”物体可以由三维物体演变而来，条件是双重三维坐标系统内各个维度上的具体参数必须全部相互影响并参与变化.这是任何一个三维物体所无法具备的.（理由四）

由于莫比乌斯圈是在双重坐标体系内生成的，当在三维环境里对莫比乌斯圈进行裁剪时，其被裁剪下来的部分就解除了该坐标体系对它的“非三维”约束，其表现为被裁剪下来的是“窄”普通环圈；而剩余部分仍保留原“非三维”物体的基本形态，其表现为“窄”莫比乌斯圈.或者说：在莫比乌斯圈的肌体内将同时存在两种状态——普通环圈（三维状态）和莫比乌斯圈（“非三维”状态），这种状态会永久存在，且无法用人为干预的方式将其改变！（相关内容请查阅论文《莫比乌斯圈的反常现象》）（理由五）

最后引述数学泰斗谈祥柏先生的判断来证明莫比乌斯圈不是三维物体.谈老曾在《数学广角镜》P118中明确指出：在现实世界中克莱因瓶是无法被制造出来的！（其实该论点的本质是：克莱因瓶不是三维物体）数学家已证明：每个克莱因瓶是由两个莫比乌斯圈组合而成的.而莫比乌斯圈通体圆润，浑身都是空间曲线，没有一条二维直线、曲线以及三维直线、曲线.因此，莫比乌斯圈不是三维物体，而是“非三维”物体！（理由六）

四、结论

莫比乌斯圈不是三维物体，而是人类没有完全认知的“非三维”物体！

五、莫比乌斯圈里仍有未解之谜

是的，莫比乌斯圈里仍然存有许多鲜为人知的奥秘，莫比乌斯圈、莫比乌斯现象及其莫比乌斯原理也没有得到学术界的认可，但并不影响我发表一孔之见，我将在专题论文《莫比乌斯圈的反常现象》和《重新认识莫比乌斯圈》里进一步阐述和探讨莫比乌斯圈的相关问题.

当然，提交本文的真实目的是渴望能得到您对莫比乌斯圈、现象和原理作出更权威的准确诠释和更睿智的思想升华！

【参考文献】

［1］［德］莫比乌斯（1790—1868），数学家、天文学家，1858年公布莫比乌斯圈.

［2］［苏联］伏·巴尔佳斯基.拓扑学奇趣.长沙：湖南教育出版社，1999：43.

［3］华应龙.神奇的莫比乌斯带.北京第二实验小学精品课程，2005（1）：11-15.

［4］周康玲.上帝的骰子.发明与革新，2001年连载.

［5］谈祥柏.数学广角镜.南京:江苏教育出版社，1998：118.