含参一元二次不等式的解法

2012-04-29 12:49朱远军
数学学习与研究 2012年7期
关键词:基本思路思路符号

朱远军

“分类讨论”是高中数学的重要思想之一,也是每年高考的必考内容.而含参一元二次不等式的解法是这一思想方法的具体体现,但同学们学起来难度很大,往往会出现解题思路乱,分类标准不清,写不出准确结果等现象.笔者愿以教学过程中对此类问题的思考与读者交流,以便同学们的学习和老师的教学.

笔者认为,此类型解法的基本思路和步骤与“数字型”的一元二次不等式的解法的思路和步骤是一样的.第一步,将其化为ax2+bx+c>0(或<0);第二步,求判别式(或因式分解);第三步,求根和确定两根大小,并利用相应的二次函数的图像写出解集.下面举例说明.

例1解关于x的不等式:x2-3x+2≤3ax-6a.

分析按“数字型”的解法的思路和步骤依次进行.

解原不等式等价于x3-3(a+1)x+2(3a+1)≤0,

Δ=9(a+1)2-8(3a+1)=(3a-1)2≥0,

相应的一元二次方程的根为x=3(a+1)±(3a-1)2,

即x1=3a+1,x2=2,x1-x2=3a-1.

(1)若3a-1<0,即a<13时,x1

(2)若3a-1=0,即a=13时,x1=x2.

此时,原不等式化为x2-4x+4≤0,∴x=2.

(3)若3a-1>0,即a>13时,x1>x2,此时2≤x≤3a+1.

综上所述,当a<13时,解集为{x|3a+1≤x≤2};

当a=13时,解集为{2};

当a>13时,解集为{x|2≤x≤3a+1}.

点评1鄙鲜鼋夥ǖ谝弧⒍步与“数字型”的思路完全一样,只是第三步在求出根时,由于两根大小与a的取值有关,故用x1-x2的值大于(等于或小于)0来确定两根大小并求出相应的a的范围,最后根据相应的二次函数的图像写出解集.

2鄙鲜銮蟾时,也可用“十字相乘法”因式分解求得.

例2解关于x的不等式axx-1<1.

2庇捎诙次项系数含参数a,看似很复杂,但整体上只分两类a=1(一元一次不等式)和a≠1(一元二次不等式).

3痹诘诙类a≠1中,由x1,x2的大小关系分了三类并求出相应的a的范围,根据a的范围再考虑二次项系数的符号,根据相应的二次函数的图像写出解集.

4痹赼≠1的①类中,又分两类,主要是因为a<0或a>1时,虽然都有x2

5薄白凵纤述”这一步是为了让结果更加清晰、集中,最好是按a的取值大小从左到右写出,这样思路更清晰.

总之,含参型一元二次不等式的解法,首先要按“数字型”一元二次不等式的解法的基本思路和步骤进行,在此基础上,要确定两根的大小,由此算出相应参数的范围,再由参数的范围确定二次项系数的符号,最后写出相应的解集.

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