浅谈含参数问题求参数取值范围的几种方法

崔启

通过多年的高考试卷看，求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点，同时也是一个难点.考生有时会感到难度较大，以至于得分不高.经过多年的数学教学实践，探求了一些解决含参数问题的有效方法.叙述如下.

一、分离参数法

所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围.这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决.

例1 已知函数g(x)=x2-ax+4=0在［2，4］有零点，求a的取值范围.

解 ∵函数g(x)=x2-ax+4在［2，4］上有零点，ァ喾匠蘥(x)=x2-ax+4=0在［2，4］有实根.

ゼ捶匠蘟=x+4[]x在［2，4］有实根.

チ頵(x)=x+4[]x，则a的取值范围等同于函数f(x)在［2,4］上的值域.

び ∵f′(x)=1-4[]x2=(x-2)(x+2)[]x2≥0在［2，4］上恒成立，

∴f′(x)在［2，4］上单调递增.

∴f(2)≤ゝ(x)≤f(4)，即4≤ゝ(x)≤5，∴4≤a≤5.

当然此题还有其他的解法在此不给予说明.

二、主参换位法

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度.可把变元与参数换个位置，即把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，再结合其他知识（转化为一次或二次函数等问题即利用构造函数的思想），往往会取得出奇制胜的效果.

例2 若对于任意a∈(-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于0，求x的取值范围.

分析 此题若把它看成a的二次函数，由于a,x都要变，则函数的最小值

很难求出，思路受阻.若视a为主元，从而转化为关于a的一次函数，则给解题带来转机.

解 设g(a)=(x-2)a+x2-4x+4，把它看成关于a的直线，

由题意知，直线恒在横轴下方.

所以g(-1)≥0,

g(1)>0.解得x<1或x=2或x≥3.

例3 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围.

解 设f(m)=m(x2-1)-(2x-1)，对满足|m|≤2的m，f(m)<0恒成立，

∴f(-2)<0,

f(2)<0.∴-2（x2-1）-（2x-1)<0,

2(x2-1)-(2x-1)<0.

解得-1+7[]2

例4 对于（0，3）上的一切实数x,不等式(x-2)m<2x-1恒成立，求实数m的取值范围.

分析 一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围.但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦.

解 若设f(x)=(x-2)m-(2x-1)=(m-2)x+(1-2m)，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x轴的下方.

所以f(0)≤0,

f(3)≤0.解得1[]2≤m≤5.

三、数形结合法

某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能主参换位转为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法，往往能迅速而简捷地找到解题途径.对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图像，然后通过观察两图像（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式.

例5 若不等式3x2-玪og璦x<0在x∈0,1[]3内恒成立，求实数a的取值范围.

解 由题意知：3x2<玪og璦x在x∈0,1[]3内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数y=3x2和y=玪og璦x的图像，观察两函数图像，当x∈0,1[]3时，若a>1函数y=玪og璦x的图像显然在函数y=3x2图像的下方，所以不成立；

当0猘≥1[]27.综上得：1>a>1[]27.

数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强.这就要求我们要以变应变，在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度、不同的方向加以分析探讨，从而选择适当方法快速而准确地解出.当然除了以上的方法外，还有许多其他的方法，值得一提的是，各种方法之间并不是彼此孤立的.因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助.