例说运用线性规划思想解二元函数最值问题

张勇

线性规划是高中数学中的新增内容,也是初等与高等数学的衔接内容,是高考的重点热点.线性规划思想在高中数学各个章节中都有应用,尤其在求有关二元函数的最值问题时，以下举几例说明，供参考：

一、在解析几何中的应用

1.到点的距离问题

例1 已知x,y满足y≤x,

x+2y≤4,

y≥-2,

则

S=x2+y2+2x-2y+2的最小值是.

解析 S=(x+1）2+（y-1)2表示可行域内的点到点(-1,1)的距离的平方,由图可知当点取(0,0)时S的最小值为2.

2.到直线的距离问题

例2 已知x,y满足不等式组

x+y-4≥0,

x-y+2≥0,

2x-y-5≤0,则ω=﹟x+2y-4|的最大值为.

解析 作出可行域,设P(x,y)是区域内任一点,则|x+2y-4|[]5表示点P到直线x+2y-4=0的距离,解x-y+2=0,

2x-y-5=0,得Q(7,9),由图可知,当取点Q(7,9)时，ω的最大值为21.

3.两点连线的斜率问题

例3 已知x,y满足不等式组y≥0,

x-y≥0,

2x-y-2≥0，则ω=y-1[]x+1的取值范围是.

解析 作出可行域,设P(x,y)为可行域内任一点,而│=獃-1[]x+1表示点P和点Q(－1,1)连线的斜率,且ω┆玬in=k㏎M=-1[]2,又由图知ω<1,所以│亍湿-1[]2,1.

点评 (1)解线性规划问题要先正确画出满足条件的可行域.

(2)要善于联想目标函数所表示的几何意义,如距离、斜率等.

二、在函数、方程与不等式中的应用

例4 已知函数f(x)=(4a-3)x+猙-2a,x∈［0,1］,若f(x)≤2恒成立,则a+b的最大值为.

解析 由题意得f(0)≤2,

f(1)≤2,解得b-2a≤2,

2a+b≤5,

令z=a+b,作图令横轴为a轴,纵轴为b轴,由线性规划知识可得在点3[]4,7[]2处z取得最大值17[]4.

三、在概率问题中的应用

例5 甲乙二人互相约定6：00~6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开,求甲乙二人能会面的概率.（假定他们在6：00~6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的.）

解析 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x，y.

则由题意知0≤x≤30,

0≤y≤30,

由“二人会面”可得|x-y|<10，

在直角坐标系中画出0≤x≤30

0≤y≤30

的对应平面区域为正方形，且面积为302=900；画出|x-y|<10的对应平面区域为区域A，且面积为302-2×1[]2×(30-10)2=500.

所以由几何概型可得所求概率为P=500[]900=5[]9.

答 两人能见面的概率为5[]9.

从以上几例看出，在求有关二元函数的最值问题时，注意利用线性规划思想,联想目标函数的几何意义,合理恰当转化将使问题解决简洁明了.