解题教学因生成而精彩

孔德龙

【摘要】“丝丝入扣”的教学设计束缚了解题教学的灵活性，使解题教学成了教案的消极翻版，不能适应交互动态的教学过程.“动态生成”是新课程所提倡的一个重要的教学理念，问题让学生提，方法让学生悟，思路让学生讲，错误让学生析，小结让学生思，对学生显性知识和隐性知识的生成起了很好的作用.

【关键词】动态生成；目标；方法；内容；过程

图 1题目 如图1，矩形ABCD中，〢D=12，AB=8，点E沿A→D方向在线段AD上移动，点F沿D→A方向在线段DA上移动，速度都是2个单位每秒，若E,F分别同时从A，D两点出发，当E点移动到D点时，E,F都停止，设移动的时间为t秒.①t为何值时，四边形BCFE的面积是矩形ABCD面积的3[]4？②t为何值时四边形BCFE的对角线BF与CE的夹角是90°？③BE与CF所成的夹角是否可能为120°？若有可能，请求出此时t的值；若没有可能，请说明理由.

教学活动

第①问的讨论：

学生1：由题意得AE=DF=2t，EF=12-4t，

S┨菪蜝CFE=1[]2（12-4t+12)×8=96-16t，

S┚匦蜛BCD=12×8=96.

因为S┨菪蜝CFE=3[]4S┚匦蜛BCD，

所以96-16t=3[]4×96，

即t=3[]2.

教师：很好，这种做法清楚明了，只是在计算线段EF长时要细心，不要出错.

学生2：老师，我还有一种做法：因为S┨菪蜝CFE=3[]4S┚匦蜛BCD，所以S△ABE+S△CDF=1[]4S┚匦蜛BCD，所以1[]2×2t×8+1[]2×2t×8=1[]4×8×12，即t=3[]2.

教师：不错，是一种好方法，计算很简便.

第②问的讨论：

图 2学生3：如图2，连接BF，CE相交于O点.在△ABE和△DCF中，

因为AE=DF，∠A=∠D=90°，〢B=狣C,

所以△ABE≌△DCF，〣E=狢F.

因为EF∥BC且EF≠BC，所以BCFE为等腰梯形.

在△BEC和△CFB中，因为BE=CF,∠EBC=∠FCB,BC=CB，

所以△BEC≌△CFB，∠BCE=∠CBF.

因为∠BOC=90°，所以∠BCE=∠CBE=45°.

从而∠AFB=∠ABF=45°，AB=AF.

即8=12-2t，t=2.

教师：在本题解答过程中，不少同学都是在找梯形上、下底之间的关系，你怎么想到找AB与AF之间关系的？

学生3：我把“对角线BF,CE夹角为90°”当条件，根据等腰梯形的轴对称性可知∠OBC=∠OCB=45°，在求解过程中我才知道AB=AF.

教师：很好，从结论出发探索需要得到结论的各种条件，是一种很好的解题思路.

第③问的讨论：

图 3学生4：这是一个动点问题，如图3，若∠BOC=120°,

则∠OCB=∠OBC=30°，所以∠AEB=30°.在玆t△ABE中，AB=8，则BE=16，AE=162-82=83.

因为AD=12，AE>AD,不合题意，

所以BE,CF所成的夹角不可能等于120°.

（大部分同学都赞同这种做法）

教师：学生4的做法，看似很有道理，是否有考虑不周到的地方呢？

学生5：BE,CF所成的夹角等于120°，也有可能是∠BOF=120°，则∠BOC=60°，所以∠OBC=∠OCB=60°，∠ABO=30°.在玆t△ABE中，AE=1[]2BE，AB=8，故AE=8[]33，所以t=8[]33÷2=4[]33.

（呀！的确存在，不少同学赞同）

图 4学生6：我觉得有问题，若AE=8[]33，则DF=8[]33，那么AE+DF=16[]33<12，这时图3就变成图4了，BE与CF不相交，这时不存在∠BOF.

（这时，不少同学沉默了，又一次让大家产生了疑虑，不少同学皱起了眉头）

图 5学生7：老师我觉得学生6所说的图4的情况是存在的.

题目中BE与CF所成的角应该是指直线BE,CF所成的角，延长BE,CF交于O点，这时∠MOB=120°，如图5，符合题意.

（这时同学们非常激动，不由自主地鼓起了掌）

教师：通过对本题的分析，你有哪些收获？

学生8：我知道了BE,CF所成的夹角指的是直线BE,CF的夹角.

学生9：思考问题时要有灵感就必须熟练掌握基础知识，比如遇到矩形、菱形、正方形、等腰梯形时可考虑轴对称的知识.

学生10：问题③可分为BE,CF相交和不相交两种情况考虑.

……

教学反思

“认真钻研各种解法，精心设计解题过程”一直是数学教师不懈的追求，这种教学预设上的“精雕细琢”使解题教学在普遍意义上陷入了这样一种状态，教学以本为本，习惯从既定的教案出发，设计出一条让学生尽快掌握多种解法的“快速通道”.“丝丝入扣”的教学设计束缚了解题教学的灵活性和变通性，使解题教学成了教案的消极翻版，不能适应交互动态的教学过程.“动态生成”是新课程所提倡的一个重要的教学理念，它强调课堂教学的设计和开发过程，重视师生活动的多样性，真正体现学生的主体性.

1.学习目标的动态生成——问题让学生提

学生带着自己的知识经验参与课堂教学活动，在复杂多变的教学情境的交互作用中，不断产生新的问题.本课例在问题③的探究活动中，起初学生考虑问题不够全面，但大部分同学认同，教师点拨后，认为BE与CF所成的夹角为120°，可能是∠BOC=120°，也可能是∠BOF=120°（图3）.进而又产生了新的疑问，线段BE与CF不相交，怎么办？最后，弄清了疑问.这些新的问题实际上指向不同的目标群，教师应能及时捕捉这些生成性目标，并将此作为教学进一步开展的契机.

2.认知结构的动态生成——方法让学生悟

在教学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质.问题①的探究中，学生提出两种解法.问题②的探究中，学生根据等腰梯形的轴对称性悟到AB与AE的数量关系.在教学设计中，更多地思考学生如何学，实现学生自己钻研、领悟和感受的过程，放手让学生观察、比较、分类，从而让学生实现对新的数学知识、思想和方法的心领神会.

3.学习方法的动态生成——思路让学生讲

传统教学也强调方法指导，要教师把学习方法教给学生，而学习理论认为：学习方法应该是学生在学习知识的过程中动态生成的，而不是独立于事物之外由教师传授而得的.本课例力求不断鼓励学生发挥独立性和创造性，从而在潜移默化中自主生成自己特有的学习方法.原本打算分析问题③时分BE与CF相交与不相交两种情况，但学生思考的方向只有相交，在又分了∠BOC=120°或∠BOF=120°两种情况之后，集体的力量展现出来，很好地展示了学生的思维过程.这是笔者没有预料的.在解题教学设计中不是就题论题，而是从方法论的高度来指导解题教学，把解题过程加以“活化”，恢复其原有的生动性、形象性、创造性的一面.在问题②的探索分析中，学生提出根据AB=AF列式，这是一个不常规的思路，教者追问学生这个思路的由来，暴露了解题思路的探索过程，突出了解题中的探索环节及解题方法被发现的过程，有利于学生隐性知识的生成.

4.学习内容的动态生成——错误让学生析

学生在学习过程中总会出现这样或那样的错误，教师应自始至终留心捕捉和筛选这些鲜活的错误作为资源，借此来调整教学行为.并有意识地让学生去剖析，正本清源，巧用错误资源以促进生成，实现学生自悟.在问题③的分析中，学生的错误认识一个接着一个，如果教师主动干预，不让学生分析错误的原因，就不会有这么多的精彩生成，就不可能积累丰富的解题经验，解题能力也不可能得到有效的培养.

5.学习过程的动态生成——小结让学生思

解题心理规律告诉我们，解题者在解题决策过程中可能百思不解，多次受阻，而后又可能突然领悟，此时的思维，具有很大的直觉性，可能顾不到对自己的思维进行整理，因此在解题后对思维过程、解题方法、教学思想进行反思，就能对数学解题过程获得规律性的认识.比如回忆解题思路的产生过程，反复受阻的原因何在，问题解决中用了哪些教学方法，体现了怎样的数学思想，能否把这些方法用于其他问题的解决等，一旦反思成为解题后的自觉行为，学生的主动生成就会不断取代被动接受.本课例中，通过对分析本题的收获的小结反思，学生收获的层次不同，收获的内容丰富，对学生显性知识和隐性知识的生成起了很好的作用.