新课改背景下高中数学研究性学习探析

王琛

【摘要】《普通高中数学课程标准（实验）》中要求，通过对《球面上的几何》专题的学习，初步学习球面几何的一些基本知识及其在实际中的一些应用，通过比较球面几何和欧式几何的差异与联系，感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型.类比思想是学习这个专题所用到的重要的思想方法，空间想象和几何直观能力是学好这个专题的关键.本文主要通过类比的方法，探究一些球面几何的基础知识.

【关键词】球面几何；边角关系；面积；全等オ

一、概 述

球与球面是很常见的图形，地球、月亮、太阳等都近似于球体，清晨荷叶上的小水珠在表面张力的作用下，它的形状也近似于球.研究球面上的几何叫做球面几何.球面几何又叫椭圆几何，它是曲率为正的常数的常曲率空间几何之一，它和双曲几何合称为非欧几何.

二、研究平面三角形与球面三角形的外角及边角关系

1.内外角关系

平面三角形三内角之和为180°，三内角的取值范围为大于0°小于180°.球面三角形则有所不同，通常所讨论的球面三角形为欧拉球面三角形，三内角的取值范围也是大于0°小于180°，但三内角之和必定大于180°而小于540°，且不是某一定值，不同的球面三角形，有着不同的内角和值.我们将球面三角形三内角之和超过180°的值称为它的球面角盈，用E表示，即E=A+B+C-180°.

另外，球面三角形的内角之间还有一些联系，它的任意两个内角之和，减去第三角，必小于180°而大于-180°.即：

图 1-180°

-180°

-180°

不同于平面三角形的内外角之间的关系，

球面三角形的任一外角，大于不相邻两内角之差，而小于它们之和，如图1所示，D为C的外角，则必有

A-B

B-A

对于A,B的外角，也有类似的情形.

平面三角形的任一外角等于不相邻两内角之和，这是大家所熟知的.

在平面三角形中，只可能有一个角是直角或钝角（否则，其内角和就会大于180°），而球面三角形则可以有两个甚至是三个内角都是直角或钝角的.

2.边角关系

平面三角形三边的大小没有限制，只要求它们满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边，或者说任意两边之差小于第三边即可.但在球面三角形中，三角不等式仍成立，而且需每边的取值范围是大于0°小于180°，三边之和小于360°.在边角关系之中，平面三角形有“大边对大角，大角对大边；等边对等角，等角对等边”的性质，这些性质在球面三角形中仍成立.

三、探讨平面三角形与球面三角形面积求法

平面三角形面积的求解，在中小学阶段一般给出特殊角，方便学生的计算，一般运用公式：S=1[]2ab玸in獵（a,b是三角形的两邻边，C是a,b两边的夹角）；对于单位球面三角形ABC的三个内角分别记为A,B,C,那么△ABC面积是：S△ABC=〢+狟+C-π.证明如下：

图 2证明 如图2，设A′,B′,C′分别是点A,B,C的对径点，△A′B′C′是△ABC关于球心O对称的两个三角形，它们的面积相等，球面△ABC和△A′BC构成球面上一个二面形，这两个三角形的面积和是2A，即：S△ABC+S△A′BC=2A,同理有S△ABC+S△AB′C=2B,S△ABC+S△ABC′=2C,将这三个等式两边相加，得

3S△ABC+S△A′BC+S△AB′C+S△ABC′=2(A+B+C).（*）

因为四个三角形即△ABC，△A′BC，△AB′C，△ABC′拼成一个半球面，又S△ABC′=S△A′B′C,

从而S△ABC+S△A′BC+S△AB′C+S△ABC′=S△ABC+S△A′BC+S△AB′C+S△A′B′C=2π.代入（*），可得S△ABC=A+B+C-π.

四、归纳平面三角形与球面三角形全等关系的证明

两个平面三角形全等的证明有三种方法，即：边边边（玈SS）、边角边（玈AS）、角边角（獳SA）,易得证.对于两个球面三角形的全等有四种方法，即：边边边（玈SS）、边角边（玈AS）、角边角（獳SA）、角角角（獳AA）.证明（略）.

五、总 结

球面几何是研究球面图形性质的几何学分支.它在天文、航海、测量和卫星定位等方面有着广泛的应用.在高中阶段，将球面几何的有关知识作为选修课内容向学生介绍是值得尝试的.球面三角形还有很多有价值的性质有待去研究，我们可以通过类比、猜想、证明等方法探究这些性质.

【参考文献】オ

［1］陈志杰.高等代数与解析几何［M］.北京：高等教育出版社.

［2］单墫.球面上的几何［M］.南京：江苏教育出版社.

［3］左铨如.球面几何导引与题解100道［M］.南京：南京大学出版社.

［3］普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社.