距离矢量R在电磁场与电磁波课程中的应用

贺昌辉，冷 毅，潘英锋

(空军雷达学院信息对抗系，湖北武汉 430019)

“电磁场与电磁波”是工科电子类专业一门重要的专业基础课程，也是“微波技术”、“天线”、“电波传播”及“电磁兼容”等后续课程的理论基础。矢量分析是研究电磁场与电磁波的重要的数学工具，这其中有关距离矢量［1］R联系着场点和源点。因此研究由场源产生的场的性质，必然涉及到关于的运算，所以关于R的运算在电磁场与电磁波中具有很重要的地位。本文通过教学实践，导出了距离矢量R的几个重要结论:R，f(R)，1/R的梯度及1/R的梯度的散度，并介绍了这些结论在电磁场与电磁波中有关场量的计算中的重要地位，藉此有助于这门课教学效果的提高。

1 位置矢量R的几个重要结论

如图1所示，场点坐标是(x，y，z)，用位置矢量r=exx+eyy+ezz表示;源点可用位置矢量r'=exx'+eyy'+ezz'表示。

图1 源点到场点的距离

1.1 距离矢量的结论一

1.2 距离矢量的结论二

1.3 距离矢量的结论三

当源点不变，两场点变化时，1/R的梯度表示为(1/R)。当场点不变，源点变化时，1/R的梯度表示为'(1/R)。

［证明］在结论二中，如果令f(R)=1/R，则由f(R)=［df(R)/dR］eR，可得

1.4 距离矢量的结论四

这表明在场点与源点不重合的情况下，1/R对场点或者是源点梯度的散度相等，且均为0。

(2)在R=0(即场点与源点重合)这个点上是个奇点，可以求得

根据δ函数的定义式

这里已应用了高斯散度定理，s是限定体积τ的闭合面。

其中，(R/R2)·ds是面元ds在原点所张的立体角dΩ，面积分s(R/R2)·ds则是包围原点的闭合面s在原点所张的立体角，它的数值等于4π，所以式(7)左边也等于1，这就证明了式(6)是恒成立的。

综合(1)与(2)，两种情况位置矢量的结论四可以用一个公式表示，即

2 基于上述结论的应用

2.1 用于简化矢量计算

很显然，运用距离矢量的性质，避免了繁琐复杂的旋度运算，使复杂的问题简单化。

2.2 推导点电荷电位

现已知点电荷计算场强的公式为

式中，体积分是对源点进行的源点变化;求梯度式对场点进行的场点变化。故两种运算相互独立，可以交换次序。故有

式中，常数C的梯度为0。

由上式可知，电场强度可表示为某个标量函数的负梯度，我们把这个标量函数定义为电位，并用φ来表示，则

于是，很容易地推导出了点电荷电位的表达式。

2.3 恒定磁场中安培环路定理的证明

安培环路定理［3］是恒定磁场中一个重要的定理。下面我们利用矢量磁位来推导该定理。

对于式(14)中的体积分，在R=0(即原点与场点重合这一点)之外的全部区域全为0。因此，积分区域可缩小到场点附近的小区域，如图2所示。

图2场点附近的源点

假定小区域是以场点为球心，以R为半径的球体。因R可以任意小，可以认为小体积中的Jx为常数。并将其移到积分号之前，根据散度定理有

式中，eR是源点到场点的单位矢量，指向球心;dS'沿球面外法线方向，即半径方向，与eR方向相反;所以有eR·dS'=-dS'，代入上式得

这就是真空中安培环路定理的微分形式。

除此之外，静电场的高斯定理，在有不少电磁场与电磁波的教科书采用立体角的概念推导［4］。但这种推导很麻烦，但如果应用距离矢量的结论四和δ函数来推导，就要简单得多。

3 结语

本文通过教学实践，给出并证明了距离矢量的几种重要结论，并介绍了这些结论在电磁场与电磁波中有关场量的计算与推导中的重要应用。正是因为应用了这些结论，使复杂的计算简单化，使各种定理的推导容易化，便于学生很轻松地理解，藉此提高本课程的教学效果。

［1］王泽忠.工程电磁场［M］.北京:清华大学出版社，2008，3

［2］傅文斌.微波技术与天线［M］.北京:机械工业出版社，2007，3

［3］谢处方.电磁场与电磁波［M］.北京:高等教育出版社，2006，1

［4］黄玉兰.电磁场与微波技术［M］.北京:人民邮电出版社，2007，8