利用样条分频消除GPS与APS组合定位中海浪扰动的方法研究＊

夏光辉

（91550部队，辽宁 大连116023）

0 引 言

GPS／APS定位系统的实质，就是将放置于水底的水声测量应答器阵列，转移到了浮于水面的浮标上，即通过GPS测量获得浮标的精确点位坐标，再通过浮标上APS水声定位单元实现对水下目标的定位［1］。GPS／APS系统的测量不同于陆基固定测量站的测量，由于测站浮于海面上，除了受通常陆基测站的影响因素外，还受海面波浪的影响，使得测站随海面摇摆起伏，导致测量信号中混合了某些随机扰动信号［2］，使测量信号中包含的信息不是被测目标位置特性的真实表达，必须在数据处理中予以剔除。如何将其区分开来对于实际应用具有重要意义。由于三次样条在函数逼近和动态数据处理中的特殊地位，引入三次样条函数为主线的样条分频方法。

1 样条分频方法

大量的实测数据的分析表明：无论是GPS位置计算还是APS测距计算都存在类似海浪随机扰动问题，由此导致定位结果的周期性的波动。针对这种情况，讨论一种模型［3］

式中：y（t）为测量数据；P（t）为真实信号；B（t）为海浪起伏、动态滞后、相位漂移等次低频误差；ε（t）为随机误差。

式（1）在测量数据分析等实际应用中广泛存在。特别需要指出的是，在实际问题中B（t）往往表示各种趋势信号中的波动信号，作为系统误差，需要从y（t）中扣除；作为波动信号，则需要从y（t）中分离出来进行分析。总之，为了解决实际测量中的问题，需要从y（t）中将P（t），B（t），ε（t）各自分离。

通过建立自由节点样条函数的非线性模型来解决这一问题。在样条阶数给定的条件下，从y（t）中分离P（t），B（t），ε（t）的问题可转化为求样条节点数以及节点序列的优化问题。对该优化问题，设计了求解样条节点的算法，根据该算法给出航迹表示的样条节点序列。

考虑区间 ［a，b］，称

为［a，b］上的具有N个内节点的n次多项式样条函数。其中T1，T2，…，TN为n次多项式样条函数的N个内节点，记ΓN＝ ｛TN＝ （T1，T2，…，TN）：a＜T1＜T2＜ … ＜TN＜b｝为节点数等于N的内节点序列的全体。考虑区间［a，b］，测量信号具有n次多项式样条特征是指存在N个样条内节点TN∈ΓN，使得

式中｛ε（t）｝为零均值平稳随机过程。

从理论上讲，只要样条节点数N足够大，总可以使得式（2）成立，但在实际问题中，N不能无限大，一般都有一个上界值，随着节点数的增加，虽然信号的表示精度可望提高，但由此带来的问题是由于参数的增多，而导致信号估计的精度降低［4］。

设y（t）具有n次样条多项式特征，并在m个时刻有采样数据 ｛y（ti），i＝1，2，…，m｝，a＜t1＜t2…＜tm＝b.由此可获得一个离散数据模型

式中，ε（ti）～ （0，σ2）为测量随机误差，假设为白噪声。

实际问题中，P（t）与B（t）之间，B（t）与ε（t）之间通常都存在一个频带间隔（大量的计算实例均表明了这一点）。因此，若定义残差

则 ｛G （N）｝是一个递减序列，随着N的增大，｛G （N）｝是一个逼近过程，且逼近趋势有下面四个阶段：

表1 仿真数据的G（N）值／m

为了实现上述逐步逼近过程，需要建立一个可以实现的算法。考虑式（3），令

式（3）可以写成向量形式

式（8）的参数估计可归为如下非线性优化问题：即求参数α，TN，使得

其中

式（9）是在n＋N＋1维的空间中进行的。式（8）中参数α是线性的，因此，可以把优化问题（9）的维数降到参数TN的维数N.

则P（TN）为幂等阵，P（TN）即是X（TN）的列向量所生成空间的投影阵。令H（TN）＝I－P（TN），则

考虑下面的非线性优化问题。求＾TN使得残差平方和

式（11）中只涉及到节点参数TN，是一个N维空间的优化问题。

为定量地给出分频界线，对下述样条函数寻优准则BIC量进行分析：

通过对BIC量分析，可定量地给出P（t）与B（t）、P（t）＋B（t）与ε（t）的分频界线：BIC（N）随N的增加将在N1到N2之间，N3到N4之间分别出现两个极小值点，记为N＊，和N＊＊.N＊为P（t）与B（t）的分频界点，N＊＊为P（t）＋B（t）与ε（t）的分频界点。可从测量数据y（t）中把真实信号P（t）与海浪长周期起伏分量引起的误差信号B（t）以及海浪短周期起伏分量引起的误差信号ε（t）进行分离。

2 分频算法的设计

根据上节的样条分频理论，设计的分频算法的构造流程如图1所示。实际的初始节点TN（0）由等距样条节点提供，L为最大样条节点数，λ为收敛因子，δ为控制因子。

图1 分频算法流程

3 分频算法的应用

3.1 海浪对GPS／APS测量的影响

通常海面波浪的高度在0.5～20m范围内，常见浪高为1～4m，波浪周期约1～25s（0.04～1 Hz）。由于物理现象的复杂性，目前尚不能完全从理论上确定海浪频谱的解析形式。海浪的运动不可避免影响到GPS／APS的测量。图2出了某次实验中水下定位数据Y方向的样条拟合残差图。

图2 实测数据拟合残差图（Y方向）

从图中可以看到，测量数据在三个坐标方向都存在明显的周期性扰动，根据实验的背景，确定这种周期振荡并非目标运动特性所致，因此，可以断定是来自环境因素的影响，即海浪起伏引起的随机扰动［5］。

3.2 实际应用

由图2中可以看到存在着明显的周期性波动，利用给出的样条分频方法对该实测数据进行分频处理，得到的频谱分析结果如图3所示。

图3 测量数据的频率－能量谱

从图3可以看到，在0.04～0.05Hz左右波动干扰的能量最大，通过3.1节的分析，可以排除这种现象属于目标位置特性的可能。从频率上来看，与海浪的频率范围十分相符，结合实验的水文测量数据，可以推断是属于海浪波动引起的［6］。

根据式（3），对该定位数据利用上述分频算法进行分频处理，从数据的处理结果看，一致性较好。这里只给出了其中的一段数据处理结果，图4示出了分离出的海浪引起的长周期误差信号；图5示出了分离出的海浪引起的短周期误差。由此可见，采用样条分频对测量数据进行处理后，能有效地剔除了长周期性漂移误差，同时也能清楚地分离短周期随机误差，效果相当明显。

图4 测量数据中分离出的漂移误差图

图5 测量数据分频处理后的残差图（N＝15）

4 结 论

针对GPS／APS水声定位系统测量中由于海浪的起伏引起定位信息的随机扰动进行了分析，提出了采用样条函数信号分频理论对APS测元数据的混合误差建立分频模型的方法，并结合实测数据进行了仿真分析验证，仿真结果表明：经过分频处理后，能大大降低海浪波动给测量结果带来的残差，可以解决测站起伏对定位精度的影响。实际应用表明：采用样条分频处理方法可以有效提高定位数据精度。

［1］ 蔡艳辉.差分GPS水下定位系统集成关键技术研究［D］.沈阳：辽宁工程技术大学，2007：15－18.

［2］ 李小民，李建增，宋 军，等.水下GPS应用方法研究［J］.测控技术，2004，23（6）：57－59.

［3］ 易大义，沈匀宝，李有法.计算方法［M］.杭州：浙江大学出版社，2002：28－35.

［4］ 王正明，易东云.测量数据建模与参数估计［M］.长沙：国防科技大学出版社，1996：53－66.

［5］ 许景波，边信黔，付明玉.随机海浪的数值仿真与频谱分析［J］.北京：计算机工程与应用，2010，46（36）：226－229.

［6］ 赫 亮.波浪谱密度函数数值分析［D］.大连：大连理工大学，2005：31－36.