含各向异性单负材料的一维光子晶体的全向带隙

董丽娟，石云龙

(山西大同大学固体物理研究所，山西大同037009)

单负材料是特异材料(metamaterials)中的一类，包括电单负材料 (介电常数ε小于零，磁导率μ大于零)和磁单负材料(介电常数ε大于零，磁导率μ小于零)，它们拥有很多普通材料没有的新奇的物理特性，是近年来国际上的一个研究热点[1-5]。由于单负材料的折射率是纯须数 (无损耗时)，因此电磁波从空气中入射到单负材料中时，只能以迅衰场的形式存在。但是，令人们惊奇的是，在两种不同的单负材料排列在一起组成的双层结构中，当满足阻抗和相位匹配时，会发生共振透射的现象[6]。由电单负材料和磁单负材料组成的双层结构为原胞周期性排列组成的一维光子晶体中存在一种不同于Bragg带隙的新带隙--零有效相位带隙，该带隙与晶格常数的标度无关而且受晶格无序的影响很小，并且不随入射角度和偏振状态的变化而变化[7，8]。

目前，针对各向同性特异材料的研究较多，其介电常数和磁导率都是用标量来描述。但实际上，人工制备的特异材料多是各向异性的，也就是说一般的材料都是各向异性的，或者是单轴各向异性的。所以研究各向异性特异材料的性质也是很重要的。2002年，文献[9]中研究了单轴各向异性左手材料的电磁传播特性。2003年，文献[10]研究了各向异性负折射率材料介质的透射情况，发现可以实现斜入射角度的全透射，这种机理不同于布儒斯特角的透射机理。2003年，Smith在文献[11]中提出了“不确定媒质(indefinite media)”，这种介质的介电常数和磁导率是各向异性的，并且主轴上 (非主轴元素为0)的值的符号没有确定，根据主轴元素取不同的符号，作者把不确定媒质分成了4种类型：正常截止、反常截止、永不截止和总是截止。在本文中，我们将根据色散关系讨论不确定煤质是单负材料范围时的情况，并且利用转移矩阵方法研究含各向异性单负材料的一维光子晶体中的带隙特性。

1 各向异性单负材料的确定

为了简化，我们假设各向异性材料只具有对角化的介电常数张量和磁导率张量，它们有以下形式：

假定入射电磁波的波矢k位于xz平面 (入射面，z为法向方向)。设入射电磁场分别为

和

对于TE波，入射电场可以写为：

利用公式▽×E＝iωμH，可以写出入射磁场的形式为：

由方程(2)和(3)描述的平面波满足以下色散关系：

则根据方程 (4)，在不考虑材料损耗时，k2z的符号可以用来区别平面波解的种类。k2z＞0对应于kz具有实数解，表示平面波有传播解；k2z＜0对应于kz具有虚数解，表示平面波有衰逝解。从方程(4)可以推导，截止频率为

我们知道，单负材料中的电磁波只能以迅衰场的形式存在。因此，单负材料选值的范围对应于＜0的虚数解。单负材料包括电单负材料和磁单负材料两种。在这里，根据方程(4)各向异性电单负材料对应于 εy＜0，μx＞0，μz＞0 的情况，各向异性磁单负材料对应于 εy＞0，μx＜0，μz＜0 的情况。

对于TM波，入射磁场可以写为：

利用公式▽×H＝－iωμE，可以写出入射电场的形式为：

由方程(5)和(6)描述的平面波满足以下色散关系：

同理，根据方程(7)，各向异性磁单负材料对应于μy＞0，εx＜0，εz＜0 的情况，各向异性磁单负材料对应于 μy＜0，εx＞0，εz＞0 的情况。

2 全向带隙

考虑一个置于空气中的由各向异性电单负材料和磁单负材料交替生长形成的一维光子晶体。因为体系是周期结构，电场和磁场满足布洛赫定理，因此可以根据该定理写出体系的色散方程。对于TE波，该光子晶体的色散关系可以写为：

对于TM波，色散关系可以写为：

其中，β表示体系的布洛赫波矢，其余物理量的右下角标1和2分别表示各向异性电单负材料和磁单负材料的参数，d是光子晶体中一个周期的总厚度d＝d1＋d2。对于有限结构的光子晶体，其传输参数可以通过转移矩阵的方法来计算[12]。

在本文中，选取光子晶体的结构为(AB)20，A为各向异性电单负材料，B为各向异性磁单负材料，20表示周期数。对于TE波，各向异性电单负材料选取 εy＝1－100/ω2，μx＝μz＝3，d1＝6 mm，各向异性磁单 负 材 料 选 取 εy＝3， μx＝1 －100/ω2，μz＝－1，d2＝12 mm。对于TM波，各向异性电单负材料选取εx＝1－100/ω2，εz＝－1，μy＝3，d1＝6 mm，各向异性磁单负材料选取 εx＝εy＝3，μy＝1－100/ω2，d2＝12 mm。

图1 含各向异性单负材料的光子晶体(AB)20的TE波透射率随入射角度的变化

图2 含各向异性单负材料的光子晶体(AB)20的TM波透射率随入射角度的变化

图1 和图2分别给出了含各向异性单负材料的光子晶体 (AB)20的TE波和TM波透射率随入射角度的变化曲线。从图1和图2中我们可以看到，对于TE波和TM波，无论入射角度如何变化都存在一个共同的带隙，范围从0.59 GHz到1 GHz。也就是说，该带隙几乎不随入射角度和偏振状态的变化而变化，该性质可以用来设计一定带宽的全向反射镜。

3 结论

本文研究了各向异性电单负材料和各向异性磁单负材料组成的一维光子晶体中的带隙特征。由于两种不同的各向异性单负材料的特殊性质，在该研究结构中拥有一个全向带隙，它随入射角度和偏振状态的变化很不敏感。这种性质可以用来设计全向反射镜。

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