多角度帮你解决圆锥曲线中的问题

严鹏 李峰

圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1） 曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用；（2） 综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求；（3） 计算量大，要求同学们有较高的计算水平和较强的计算能力。

【例1】(选修21，P32，第5题改编)设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，求离心率e的取值范围.

分析本题考虑的角度有很多种。基本的思想还是寻找a,b,c之间的关系。

解解法1：利用曲线范围

设P（x，y），又知F1（－c，0），F2（c，0），

则F1P=(x+c，y)，F2P=(x－c，y).

由∠F1PF2=90°，知F1P⊥F2P，

则F1P•F2P=0,

即（x+c）(x-c)+y2=0,

得x2+y2=c2.

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

x2=a2c2－a2b2a2－b2,

但由椭圆范围及∠F1PF2=90°,

知0≤x2

即0≤a2c2－a2b2a2－b2

可得c2≥b2，即c2≥a2－c2，且c2

从而得e=ca≥22，且e=ca<1,

所以e∈22，1.

解法2：利用二次方程有实根

由椭圆定义知

|PF1|+|PF2|=2a輡PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.

又由∠F1PF2=90°，知

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,

则可得|PF1||PF2|=2(a2－c2).

这样|PF1|与|PF2|是方程x2－2ax+2(a2－c2)=0的两个实根，

因此Δ=4a2－8(a2－c2)≥0輊2=c2a2≥12

輊≥22,

因此e∈22，1.

解法3：利用三角函数有界性

记∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，由正弦定理有

|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin90°

輡PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|，

又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，则有

e=ca=1sinα+sinβ=1sinα+cosα=12sinα+π4，

而π4<α+π4<3π4，

知22

1<2sinα+π4≤2，

从而可得22≤e<1.

解法4：利用焦半径

由焦半径公式得

|PF1|=a+ex，|PF2|=a－ex，

又由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以有

a2+2cx+e2x2+a2－2cx+e2x2=4c2，

即a2+e2x2=2c2，x2=2c2－a2e2，

又点P（x，y）在椭圆上，且x≠±a，

则知0≤x2

得e∈22，1.

解法5：利用基本不等式

由椭圆定义，有2a=|PF1|+|PF2|平方后得4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|

≤2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2=8c2，

得c2a2≥12，所以有e∈22，1.

解法6：巧用图形的几何特性

由∠F1PF2=90°，知点P在以|F1F2|=2c为直径的圆上.

又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，

故有c≥b輈2≥b2=a2－c2，

由此可得e∈22，1.

解法7：利用∠F1PF2的范围

设点B为椭圆的上顶点，则∠F1BF2的范围为π2,π，

所以∠OBF2的范围为π4,π2，

e=sin∠OBF2∈22,1.

点拨1. 直接求出a,c或求出a与b的比值，以求解e；

2. 构造a,c的齐次式，解出e；

3. 寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

牛刀小试

1. (选修21，P33，第6题改编)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.

2. 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且F1M•F2M=0,求离心率e的取值范围.

3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.

【参考答案】

1. 先求出P的坐标，然后由△F1PF2为等腰直角三角形，求出离心率为2－1.

2. 其实就是例1的另外一种问法.答案还是22，1.

3. 先求出直线A1B2和B1F的直线方程，进一步求出T的坐标，求出M的坐标，根据点M在椭圆上，求出e=27-5.

（作者：严鹏、李峰，镇江市第二中学）