Spectrum-generating超代数的一类子代数的研究

郭娜，刘东，高寿兰

（1.杭州电子科技大学理学院，浙江杭州 310000；2.湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）

Spectrum-generating超代数的一类子代数的研究

郭娜1，刘东2，高寿兰2

（1.杭州电子科技大学理学院，浙江杭州 310000；2.湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）

研究spectrum-generating超代数的一类子代数，确定了这类子代数的低阶上同调群以及自同构群.这类子代数对于讨论N=2-超共形代数上Harish-Chandea模的分类很有意义.

李超代数；导子代数；中心扩张；自同构

1 引言

超共形代数与共形场论和弦理论紧密联系，在数学与物理学有重要作用.N=2-超共形代数[1]是复维数-D的Calabi-Yau流形上的弦紧致分析的基本工具[2].它的表示理论和Kac-Roan-Wakimoto猜想有关[3].为了对N=2-超共形代数上的Harish-Chandra模进行分类，我们需要研究下面的李超代数，它是Spectrum-generating超代数的一个子代数[4].

本文重点讨论李超代数A的结构理论，包括它的导子代数、二上同调群、自同构群等.我们分别用C，Q 和Z来定义复数集、有理数集和整数集.对于任意集合S，定义它的非零元素集合为S*.

2 泛中心扩张

首先我们回顾李超代数L上的二上循环，它是C-双线性函数：ψ：L×L→C并且满足下面的关系式：

对任意的v1,v2,v3∈L，定义L上的二上循环的向量空间为C2(L,C).

对任意的C-线性函数f：L→C，定义二上循环ψf如下：对任意的v1,v2∈L，ψf(v1,v2)=f([v1,v2]).

这样的二上循环我们称为L上的二上边界或者平凡二上循环.

定义L的二上边界的向量空间为B2(L,C).如果φ-ψ是平凡的，那么我们称二上循环φ与二上循环ψ是等价的.对于一个二上循环ψ，定义它的等价类为[ψ].商空间H2(L,C)=C2(L,C)/B2(L,C)=｛二上循环的等价类｝，被称为L的二阶上同调群.

众所周知，Virasoro循环的二上循环由下式确定：

定理1dimH2(A,C)=2，其中关于A的常见的不平凡二上循环如下：

令φ=ψ-ψf-ξVir，其中ψf满足ψf(v1,v2)=f([v1,v2]).那么我们得到φ(Lm,Ln)=0对任意的m,n∈Z成立.

定理1可由下面的引理1-3得到.

令i=0，即

由于φ(L0,Gr+m)=0，那么(r+m)φ(Lm,Gr)=0.

因为r+m≠0，所以φ(Lm,Gr)=0.

令m=-2t，就得到如果t+k≠0，φ(Gt,Gk)=0.

令t=-(k+m)，

3 算子Lm,Gk的构造

本节中，当C=C′=1时，我们利用一些算子去构建上述李超代数A^.

我们利用Fermionic振子ψn，并且它满足反交换关系

上述代数可以由下面的向量空间表示：

其中符号Λ表示由ψi生成的外代数.

令Lk(k∈Z)是Vδ中的算子，定义：

其中j跑遍δ+Z并且正常序列定义为

那么：

所以为了构建这个代数，我们仅需要将ψk替换为Gk，那么关系式（2.4）-（2.7）成立.

4 李超代数A的导子

令V是一个A-模.从A到V的线性映射φ叫做导子，如果对任意的x,y∈A，我们有

当v∈V，映射φ:x→x·v叫做内导子.所有导子的向量空间定义为Der(A,V).所有内导子的向量空间定义为Inn(A,V).那么在V中的A的一阶上同调群和它们的系数关系为等式右边同时也叫做外导子空间.

首先我们介绍A的外导子δ：

引理4Der(A,V)=Der(A,V)0+Inn(A,V)，其中Der(A,V)0={D∈Der(A,V)|D(Ln)⊆Vn,对任意的n∈Z}.

证明从文献[5]很容易得到（证明略）.

那么

比较Gr+1的系数，我们有

从引理4和引理5，我们可以得到下面的结论.

定理2

5 自同构群

定义AutA为自同构群.我们知道，对任意的σ∈AutA，σ(Li¯)=Li¯，i¯∈Z2.

定理3令σ∈AutA，则存在a,b∈C*和ε∈{±1}满足

反之，如果σ是A上的一个线性函数满足（5.1）-（5.3），ε∈{±1}和a,b∈C*，那么σ∈AutA.

比较Gk的系数，得到εk=r.因此，

比较G(r+1)ε的系数，则aur=ur+1.

所以假设

定义A的自同构为σ(ε,a,b)满足（5.1）-（5.3），那么

和

当且仅当ε1=ε2,a1=a2,b1=b2.

通过上面的讨论，我们很容易得到下面的定理：

定理4AutA=Z2∝(C*×C*)

[1]Dobrev V K.Characters of the unitarizable highest weight modules over the N=2 superconformal algebras[J].Phys Lett,1987,B (186):43-51.

[2]Eguchi T,Hikami K.N=2 superconformal algebra and the entropy of Calabi-Yau manifolds[J].Lett Math Phys,2010,92(3):269-297.

[3]Arakawa T.Representation theory of superconformal algebras and the Kac-Roan-Wakimoto conjecture[J].Duke Math J,2005,130 (3):435-478.

[4]Ademollo M,Brink L,Adda A D,et al.Supersymmetric strings and colour confinement[J].Phys Lett,1976,B(62):105-110.

[5]Farnsteiner R.Derivations and central extensions of finitely generated graded Lie algebra[J].J Algebra,1998,118:33-45.

[6]Fuks D B.Cohomology of Infinite-Dimensional Lie Algebras[M].New York:Springer,1986:119-120.

A Study of One Subalgebra of the Spectrum-generating Superalgebra

GUO Na1,LIU Dong2,GAO Shou-lan2
(1.Depaprtment of Sciences and Mathematics,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310000,China;2.Department of Sciences and Mathematics,Huzhou Teachers College,Huzhou 313000,China)

One subalgebra of spectrum-generating superalgebra is studied in this paper.And low order cohomology group and the automorphism group of this algebra are also determined in the paper.This subalgebra is helpful to classified Harish-Chandea modules over the N=2 superconformal algebra.

Lie superalgebra;derivation algebra;central extensions;automorphism

O152.5

A

1008-2794（2012）10-0027-05

2012-08-21

国家自然科学基金项目“Virasoro代数及相关代数的结构与表示理论”（11071068）；国家自然科学基金项目“共型流李代数的结构和表示”（11201141）；浙江省自然科学基金项目“Virasoro型李代数与顶点算子代数的研究”（Y6100148）；浙江省自然科学基金项目“无限维李代数与顶点算子（超）代数的结构域表示”（LQ12A01005）

郭娜（1986—），女，河南南阳人，杭州电子科技大学2010级研究生，研究方向：李代数.