螺纹联轴器－转子系统的不对中角度慢变和突变研究

李凌轩，姚红良，刘子良，闻邦椿

(东北大学机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110819)

在旋转机械中，若系统的质量、阻尼、刚度或激励等参数在一个时间的自然单位(振动周期)内仅发生微小变化，则该系统为慢变参数转子系统.慢变参数转子系统具有广泛的工程背景，当转轴表面产生裂纹时，随着裂纹的逐步扩展和加深，转子刚度会发生变化，碰摩也逐渐加剧［1］.

在工程实际中，旋转机械的不对中故障是非常普遍的，占到了转子系统故障的60%以上.转子不对中将导致系统产生轴向、径向交变力，进而引起轴向振动和径向振动.当不对中量超差过大时，会对设备造成一系列的有害影响.不对中状态下的转子运动会引起过度振动、轴承磨损、轴的大挠曲变形、转子与定子间碰摩等再生故障，对系统的稳定运行构成威胁，严重时将造成灾难性事故［2］.

XU等［3－4］在1994年采用有限元法系统的对转子不对中故障进行了研究，并进行了实验分析.该模型中联轴器为万向节联轴器.在实际工程中，柔性联轴器不但起传递转矩的作用，而且也还有减小扭转冲击的作用.在转子系统中，电机和转子之间通过柔性联轴器实现力矩的传递.由于柔性联轴器的刚度和阻尼对旋转系统的固有特性和减振效果影响非常大，所以在常见工程中将其处理为线性阻尼和线性刚度，结果偏差较大，尤其是对于高速旋转机械.AL-HUSSAIN，SHENOY等人利用转动刚度假设建立了柔性联轴器弯扭耦合模型，进而分析了角度不对中量和联轴器刚度不同时的两跨转子系统的稳定性［5－6］.

当转子发生不对中故障，故障机械从静止状态开始启动时，随着转速的增加，容易出现不对中角度随之增大的现象，比如洗衣机脱水桶的启动工况.这类对不对中角度随转速发生慢变和突变的故障研究具有重要的理论意义和实践意义.本文将分析螺纹联轴器－转子系统的不对中角度发生慢变和突变时系统的非线性动力学行为.

1 模型与方法

1.1 有限元模型

在转子系统中，电机的转子部分和转轴二者之间通过柔性联轴器相连，在研究时可以把电机部分从转子系统中分离出去而不加以考虑.该系统不对中模型简图如图1如所示.

图1中，c为支撑阻尼，k为支撑刚度，α为不对中角度.根据有限元法，转子系统由弹性轴段单元组成，轴段单元的广义坐标为两端节点的位移，其有限元模型如图2所示.

通常情况下，仅考虑弯曲变形和扭转变形，而忽略轴向变形，则轴段单位广义坐标ub为

式中:yA和zA分别为A端y方向和z方向的位移;yB和zB分别为B端y方向和z方向的位移;θyA和θzA为A端y方向和z方向的角位移;θyB和θzB分别为B端y方向和z方向的角位移.文献［7］中已经指出螺纹联轴器具有3次非线性特性.在转子系统的动力学模型中，不对中故障可以用激励力和力矩来表示，考虑不对中激励力的存在，轴及联轴器结合处将对转子系统产生激振力，同时考虑不平衡力作用，得到转子系统具有不对中故障时的力学模型为

式中:M为结构的整体质量矩阵;a为常数，由螺纹联轴器的材料特性决定;C1为结构的整体阻尼矩阵;C2为陀螺力矩阵;K为轴系的整体刚度矩阵，由各个单元刚度矩阵集合而成;Kn为螺纹联轴器的非线性项;F为广义不对中力;当转子存在偏心时，Q为偏心力.限于篇幅，各个矩阵的算法公式太大，请参考文献［2，8］.

将柔性联轴器看成一个轴段，根据柔性联轴器的具有3次非线性刚度的特性，采用有限单元法处理，Kn可写为下式:

通常情况下，在对转子动力学进行研究时，多采用集中质量法，在MATLAB中常使用变步长四阶五级Runge-Kutta-Fehhberg算法时，即常用ode45()函数实现.为了使计算更精确、更接近实际情况，本文使用有限元法时，涉及到的自由度明显偏多，此时采用ode45()函数难以对多自由度系统进行求解.同时单纯的Wilson-θ也常只能对多自由度线性方程求解，因此必须在Wilson-θ的基础上加入Newton-Raphson迭代法，此时算法具有较快的收敛速度和较好的收敛性.

当以位移为未知量使用Wilson-θ［9］和Newton-Raphson迭代法时，式(3)中Kn项可作为每一增量时间的有效载荷项的一部分处理.在计算每一增量时间的有效增量载荷时，将式(3)变为有效刚度矩阵组成的一部分，如下式所示:

式中:K'为联轴器非线性项的有效刚度矩阵;E为弹性模量;I为转动惯量;L为联轴器的长度;b=3(yA－yB)2;c=3(θyA－θyB)2;m=3(zA－zB)2;n=3(θzA－ θzB)2.

1.2 不对中模型

转子系统在高速旋转时，电机经过弹性联轴器将运动传输到转轴上，当它们中心线之间夹角为α时，两轴之间的角速度满足如下关系式:

式中:ωR为转子的角速度;ωM为电机的角速度;C=4cos α/(3+cos 2α);D=(1 －cos 2α)/(3+cos 2α);θM为电机轴的转角，即θM=ωMt.

式(5)可以展开为

由于联轴器不对中，造成转子系统的中心线与电机转轴所在的水平面的夹角为α，电机的转矩T和2个转子的不平衡力的切向分量Qt1和Qt2都将直接作用于转子的旋转运动.

根据欧拉运动方程，得

式中:ei，εR，IRi分别为第i个转子的偏心量、角加速度和极转动惯量.

从而可知，由于转子的偏心以及螺纹联轴器的不对中而造成的弯距在y和z方向的分量Ty，Tz，将作用在轴与联轴器连接处的节点上，其可以写为

式中:Re为取实部;j为复数的虚部符号;t为时间.

式中:β为转子的初始偏心相位.

2 仿真分析

在工程中，当转子出现不对中时，随着转速的增加，容易出现不对中角度随之增大的现象.现假定转子系统在50 r·s－1时开始出现不对中故障，不对中角度的慢变和突变规律如图3所示.柔性联轴器-转子系统模型的轴段参数见表1.

图3 突变与慢变规律Fig.3 Sudden-variable and slowly-variable rule

表1 轴段单元的参数Tab.1 Lengths and diameters of the segments

模型中轴段的密度为7850 kg·m－3，联轴器和轴的弹性模量分别为2.05 GPa，210 GPa.因有16个轴段，故计算模型有17个节点.其中支撑节点在3号和11号节点，支撑刚度为6 MN·m－1，支撑阻尼为60 kN·s·m－1.偏心质量位于节点7和14号节点，偏心量分别为e4=20 μm和e14=10 μm，初始偏心相位均为0°.式(3)和式(4)中的系数a取值应为a=4×105.

为了反映机器在起动过程中，随着转速的增加，转子系统中心的轴线越来越偏离电机轴线，不对中角度增加这一过程，以转子在40 s内转速vt从50 r·s－1增加到450 r·s－1为例，即:

经过计算，得出4种情况下的时域曲线，其中1号转子中心，即7号节点的运动规律如图4—7所示.

图4 不对中角度从0°～2°慢变时，1号转子中心位移曲线Fig.4 Displace of rotor 1，slowly-variable angle from 0°to 2°

本实验台的模型参数取自于Bently RK-4实验台，运转精度较高.该有限元模型的仿真结果与试验数据能够很好地吻合.分析图4—7，得出以下结论:

(1)从系统的振动幅度来看，4种情况下纵向振动(y向)都明显强于横向振动(z向)，系统发生较大角度的慢变或者突变时，轴心轨迹由圆形变为了椭圆形，同时不对中量的突变故障危害大于慢变故障.

(2)系统的不对中角度无论发生突变还是慢变，转速较高时都极其不稳定，4种情况下稳定运行的区间分别为:0～30s，0～25 s，0～20 s，0～20 s.综合分析该转子系统出现角度不对中故障时能够稳定运转工况为:不对中角度小于1°，转速低于300 r·s－1(约为2860 r·min－1)，该数据也与笔者实验数据极为吻合.

(3)给合图3和式(8)可知，第20 s为不对中角度突变发生点.现从4个图中的小图所截取从19.9～20.1 s的时域曲线可以看出，系统发生慢变时，位移曲线并没有明显出现波动;而系统出现突变时，位移曲线都发生了明显突增或突减现象.这意味着慢变参数在经历多个振动周期的时间积累后出现明显变化.

(4)系统的位移随着转速的增加，并非一直增大，主要原因归结于两点:一是该系统的联轴器为柔性联轴器，具有较好的缓冲减振作用;二是如表1所示，该转子系统为悬臂转子系统，1号转子的运动轨迹受悬臂转子(2号转子)的影响所致.

图5 不对中角度从0°～4°慢变时，1号转子中心位移曲线Fig.5 Displace of rotor 1，slowly-variable angle from 0°to 4°

图6 不对中角度从0°～2°突变时，1号转子中心位移曲线Fig.6 Displace of rotor 1，the sudden-variable angle from 0°to 2°

图7 不对中角度从0°～4°突变时，1号转子中心位移曲线Fig.7 Displace of rotor 1，the sudden-variable angle from 0°to 4°

为了进一步分析，在系统较为稳定的时刻，即非突变发生时间点采集1号转子的轴心位移数据，然后进行傅立叶变换，得到系统的幅频特性随转速变化的关系图，如图8所示.

图8 幅频特性Fig.8 Amplitude-frequency characteristic

图8a和8b分别为不对中角度从0～4°慢变时，y向和z向的频率特性图.图8c和8d分别为不对中角度从0～4°突变时，y向和z向的频率特性图.

转子系统的转速随着时间不断增加，仿真中步长为0.001 s，每步长的转速增加为0.01 r·s－1，在采样时刻，采集数据仅为100，所以可近似认为采样时转速未发生变化，即系统基频不变.幅频特性能够反应采样时刻的系统特性.从图8可以看出:在低转速和低不对中量下，系统较为稳定，系统出现了倍频分量，但其值较小;随着转速的增加，不对中角度的增大，分频振动尤为明显(主要是1/3分频和1/2分频)，且系统发生角度不对中的突变故障所引发的分频振动的频率较为单一.

3 结论

(1)本文建立含有刚度非线性3次项的柔性联轴器-转子系统的不对中模型的非线性振动方程，基于有限单元法得出系统的质量矩阵、阻尼矩阵、陀螺力矩阵、刚度矩阵等.结合Wilson-θ与Newton-Raphson迭代法对转子系统随着转速增加时联轴器不对中量发生慢变和突变故障进行了仿真.

(2)研究表明:在低转速和低不对中量下，系统出现了倍频分量，但其值较小.当不对中角度小于1°、转速低于300 r·s－1(约为2860 r·min－1)时，系统较为稳定.

(3)系统发生不对中故障时，纵向振动明显强于横向振动，不对中量的突变故障危害大于慢变故障.随着转速的增加，不对中角度的增大，分频振动现象较为明显;角度不对中的突变故障所引发的分频振动的频率较为单一.

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