Markov分析法在企业经营中的应用

周庆欣

(哈尔滨商业大学基础科学学院，哈尔滨150028)

Markov链是一种特殊的随机过程，它具有Markov性，即未来状态不受过去状态影响.Markov性所表达的是在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”是独立的，这种性质也称“无后效性”［1］.企业在经营管理中，经常会碰到对市场经济的预测与决策问题，运用Markov链进行市场预测是一个有效的方法.本文将通过实例介绍Markov链在这方面的应用.

运用Markov链进行经济预测时，遵循的基本步骤［2］是:

1)构造状态空间E;

2)建立状态转移概率矩阵P;

3)运用转移概率进行初步市场预测并通过平稳分布进行分析.

1 对商品销售情况进行预测

设某商品的销售状态满足齐次Markov链，且跟踪其在过去的24个季度的销售情况，有如下数据:

0010 1100 0101 0011 0010 1000

其中:0表示畅销，1表示滞销.

现运用Markov链对以上数据进行分析预测.

1)构造状态空间

商品的零售价格情况分为两种状态:畅销0、滞销1，故状态空间E={0，1}

2)建立状态转移概率矩阵P

在上面的24个销售数据中0出现了15次，1出现了9次，且0→0有7次，0→1有7次，1→0有7次，1→1有2次，最后状态为0，故

设Si(n)表示第n个季度销售情况处于第i个状态的概率，则向量Sn=(S0(n)，S1(n))表示第n个季度的状态概率向量.有Sn+1=SnP(n=1，2，3，…)，由于第24个季度处于畅销，不妨设S24=(1，0)，则可预测今后各个季度的销售情况.例如:

第25个季度的状态概率向量

递推可得 S26=(0.638 9，0.361 1);S27= (0.600 3，0.399 7);S28=(0.611 0，0.389 0).即目前畅销的情况下，未来第4个季度仍畅销的可能性为0.611 0;未来第4个季度滞销的可能性为0.389 0.

3)运用转移概率进行初步市场预测并通过平稳分布进行分析

下面，通过Markov链的平稳分布来预测销售情况［3］.从转移概率矩阵P可看到，该Markov链是不可约、非周期、有限状态，故其存在平稳分布［4］.

这个结果表明:如果转移概率矩阵保持不变，那么销售情况的状态概率Si(n)→πi，(n→∞)，i =0，1，即一个和初始状态无关的值，并稳定下来.从中可以看出畅销可能性为0.608 6，远远大于滞销可能性0.391 4，说明长期销售该商品，该商品最终畅销的可能性较大.

2 对企业利润的预测

2.1 预测期望利润

设某公司每月至多接受2份订单，Xn表示第n个月接受的订单数，并设Xn为一齐次Markov链.设E={0，1，2}为状态空间，其中状态i表示“公司接受份订单”，i=0，1，2.由资料分析，接受订单的转移概率矩阵为

利润矩阵为

其中:rij表示第1个月接受i份订单的条件下，第2个月有j份订单时的利润.

设Vi(n)表示开始接到i份订单(i=0，1，2)，经过n个月后公司的期望利润，则

即有递推公式

设Vi(0)=0，即初始利润为0，则可得V0(1)=13，V1(1)=19，V2(1)=43.这表示三种前提下，经过1个月后公司的期望利润.

2.2 企业经营中决策的制定

下面要研究的问题是:公司决策者如何根据利润预测模型，在策略费用不计的情况下对生产经营进行调整，使得利润尽可能最大［5－6］.

设策略A的转移概率矩阵为之前矩阵

今有策略B的转移概率矩阵为

1)短期经营，策略不变

如果以每月期望利润为决策目标，由先前假设可知:Vi(1)，V'i(1)分别表示在策略A，B下，表示开始接到i份订单(i=0，1，2)，经过1个月后公司的期望利润.由 知:

在策略A下，公司经营1个月后

同理，在策略B下，公司经营1个月后

递推可得:

在策略A下，公司经营2个月后

在策略B下，公司经营2个月后(单位:万元)

在短期经营，策略不变的条件下，同理可以计算出两种策略下，公司数月后经营的期望利润.从这些数据可知:如果公司仅短期经营2个月，在目前有2份订单的情况下，由V1(2)＜V'1(2)知，公司采用策略B收益大;在目前没有订单的情况下，由(2)知，公司采用策略A收益大.

2)短期经营，策略可变

由于每一期所处的状态仅与前一期所处状态有关，因此，对于最优策略而言即为使得每一期策略最优.由1)中的数据可知，若前一期有0份订单，由(1)知，公司采用策略A收益大;若前一期有1份订单，由(1)知，公司采用策略B收益大;若前一期有2份订单，由V2(1)(1)知，公司采用策略B收益大.即此时公司采用何种策略应视目前公司所接受订单数而定.例如:第1期1份订单—A→ 第2期2份订单—B→第3期2份订单—B→ ………

3)长期经营，策略可变

情形与2)相同，此处略.

4)长期经营，策略不变

设π0，π1，π2分别表示在策略A下接受0，1，2份订单的稳态概率.由平稳方程π=πP得

同理，解得在策略B下接受0份，1份，2份订单的稳态概率为

于是，在长期经营的情况下，两种策略的月平均利润分别为

(单位:万元)

故企业应采用策略B，使得利润尽可能大.

3 结语

本文应用随机过程中的Markov链理论对产品销售情况、产品利润进行预测，构造相应的预测模型.企业通过该模型就可预测其产品“未来”所处状态，这对企业的经营调整，最优策略选取有着很大帮助，进而使企业投入最少、收益最大.本文通过实例分析，运用Markov分析法，对商品销售情况及企业利润进行预测，展示了市场经济预测与决策的全过程.Markov分析法简洁、易行、有效，适用于经济预测的诸多方面，但由于应用Markov分析法前提要求过程具有Markov性(即:已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”是独立的，并且要求转移概率矩阵保持不变，这两点在现实问题中不易满足)所以模型仍具有一定的局限性.

［1］ 王 军，王 娟.随机过程及其在金融领域中的应用［M］.北京:清华大学出版社，2007:91－96.

［2］ 宋庆龙，宋程成.马尔科夫链在市场经济预测中的应用［J］.商业研究，2009(2):46－49.

［3］ 柳金甫，孙洪祥，王 军.应用随机过程［M］.北京:清华大学出版社，2006:138－146.

［4］ 樊平毅.随机过程理论与应用［M］.北京:清华大学出版社，2005:177－181.

［5］ 纪跃芝，史 磊.马尔科夫链及其在经济预测中的应用［J］.长春工业大学学报，2003，24(2):26－28.

［6］ 曾庆双，赵旭东.Itô型区间变时滞Markov切换系统时滞相关H∞性能［J］.哈尔滨商业大学学报:自然科学版，2011，27 (1):57－63.