电子信息学科中线性代数的教学方法探讨

蓝 洋，吴香艳

（1.西安外事学院 陕西 西安 710077；2.新港中学 山东 蓬莱 265600）

在工程学科的高等教育体系中，数学教育是基础，我国著名桥梁专家茅以升曾说过：“数学是一切工程学科的灵魂”。可以说，数学课程的教学质量直接决定了专业人才是否具有运用理论知识独立解决工程问题的能力。目前，在工程类专业的本科教学中，较为普遍的存在着数学课与专业课教学相脱节的现象，这直接影响了高等人才专业素质的培养。本文主要针对电子信息学科，分析了线性代数课程教学上存在不足，通过举例阐述了线性代数中的数学概念同电子信息类学科本科课程的联系，从而进一步说明授课教师应该如何改进现有的教学模式来促进学生对数学知识的深刻理解及灵活应用。

1 线性代数在电子信息学科中的地位

随着计算机科学的快速发展，线性代数在应用中的重要性随之迅速增加。随着科学家与工程师所面对的工程问题的复杂性逐步增加，线性代数已经成为很多工程学科不可或缺的课程，其对许多工程类课程的重要性已超过了大学中其它数学课程。线性代数的广泛应用决定了它必然与许多专业课程息息相关，例如，在电子信息学科中，它为电路、信号与系统、通信原理、通信网、数字信号处理、信息论与编码和控制理论等课程中的问题描述与求解提供了有力工具。因此，对线性代数的深刻理解能够帮助学生对很多课程建立统一的认识，从而进一步促进其专业素质的培养。所以，线性代数的教学内容、教学方向与教学方法应该成为数学教育工作者当前思考的问题。

2 线性代数教学中存在的问题

在我国，线性代数的传统教学偏重自身的理论体系，强调线性代数的基本定义、定理及其证明，对线性代数的方法和应用重视不够，几乎不涉及数值计算。在电子信息学科的本科教学体系中，线性代数课程与后续专业课程未能有效衔接，其主要表现为线性代数教师在授课时不提专业背景，大多数线性代数课本基本没有提及实际应用，甚至没有应用类的课后习题，这导致大部分学生不了解线性代数对后续专业课学习有什么用处，所以到学习专业课的相关知识时，无法与学习过的数学知识相联系，从而影响专业课的学习质量。而更加令人担忧的是，学生往往不知道这是由于数学欠缺所导致的问题，从而无法从根本上解决在专业课学习中遇到的困惑。如果不解决这个问题，必定会影响到工程技术人才的培养。

3 线性代数教学的基本理念

为了有效完成理论教学，首先需要审视学习过程的本质。不难理解，我们需要学习的对象是自身经验之外的事物，如果我们在自己的经验体系中找到了一个的位置，使得此未知事物同经验体系中的已有事实建立了一种被自己认可的和谐关系，则说明这个未知的事物不仅仅被我们知道了而且被我们理解了。进一步的，如果我们在需要的时候，随时能够不经推理直接唤起关于这个事物的记忆，那么可以说是记住了。教学的过程就是教师启发或者帮助学生将未知事物融入各自经验体系的过程。

理论教学的目的就是帮助学生将未知事物融入自身经验体系，并进一步引导学生进行主动推理，这种推理是从熟悉的具体事物出发，抽象出其本质，形成自身的理论体系，再将此理论还原到现实中新的事物中去，如此循序渐进。数学的形成和应用体现了这一规律，在数学教学中也应该遵循这一规律。

4 改进线性代数教学的方法

在高等教育阶段，如何帮助学生完成这个过程呢？ 对于如何进行理论的学习，数学家William Feller曾指出“对每一门学科，我们都必须仔细地区分理论的3个方面：1）形式逻辑的内容；2）直观的背景；3）应用”[1]。 简单讲，除了学科本身的内容之外，决不可忽视它的来龙去脉，即其直观背景和应用。对于工程学科的学生而言，理解其直观背景有助于学生在未来的现实环境中发现问题，熟悉其应用可以直接提高学生理论联系实际解决问题的能力。所以，对于线性代数这样一门直观背景极清晰，工程应用很广泛的数学课，它的教学应该注重线性代数与其他数学课程、专业课程、生活经验以及工程应用的联系。

线性代数本身具有高度的抽象性与概括性，故其课程教学的最大挑战体现在：1）引导学生深刻理解理论知识；2）启发学生发现问题、描述问题、思考问题乃至灵活应用理论解决问题。显然，仅就课本讲授定义、定理和例题传统教学方式无法达到上述教学目标。因此，授课教师应在完成传统授课要求的基础上，注意以下几点：

首先，在授课过程中，教师应该在讲述理论知识之前描述该理论知识的发展背景，使学生能够理解问题的来源，联系已经学习过的内容进行类比，帮助学生发现新老课程之间、并行课程之间的内在联系，从而将新知识同自己的已有知识体系联系起来。

其次，在授课中，教师需要经常联系实例来说明数学原理，引导学生锻炼用数学原理概括实际问题的能力。

再者，为了使学生在专业课程学习中具有数学思维，教师还需要在授课过程中向学生渗透专业概念与数学的联系，使学生逐步认识到数学的实用性和学习的必要性。

另外，为了加强学生运用科学计算工具解决数学问题与实际问题的能力，授课教师在授课时还可以引导学生学习一些相关的计算机软件（如MATLAB软件），鼓励学生学习数学建模，并同时布置一些与需要编程计算的应用题作为课后作业[2]。

5 线性代数教学范例

在电子信息类学科中，线性代数的概念几乎无处不在，例如向量空间、基和线性变换等概念，在许多课程中都是透彻理解主要内容的关键以及成为探究知识本质的线索。接下来，本文将以向量空间中基的概念为例，探讨如何在教学中将线性代数与相关科目知识进行联系。

5.1 理解向量空间基的概念

在教学中，教师需要将新的概念同学生熟悉的知识相联系，使学生在知识扩展的过程中消除莫名其妙的感觉与恐惧的心理。例如，用向量空间的一组基来线性表示一个向量与力学中受力分解便具有很好的对应。

5.2 线性代数与其他数学课的联系

在一个专业中，任何一门课程都是相互联系、相互支撑的，但对于许多学生而言，许多课程难以产生关联。如果授课教师能时时注意为学生打通课程间的隔阂，在相互并行的课程间建立桥梁，将有助于学生领悟到不同课程的概念在本质上的一致性。数学分析、复变函数与线性代数之间便具备这样的联系。

从数学角度看，一个工程学系统的输入和输出信号都是函数，函数的线性运算（加法和标量乘法）完全类似向量空间中向量线性运算（加法和数乘）的代数性质，将向量张成向量空间的概念推广到函数组成的信号空间[7]对于工程应用是极为重要的。因此，用线性代数的向量空间和基的概念来理解级数，使得它们与线性代数的向量空间统一起来，对于未来信号与系统等专业课程的学习是非常有益的。

5.3 线性代数服务于专业基础课教学

在信号与系统课程的学习中，第一个让学生感到困难的知识就是Fourier变换，紧接着还有Laplace变换与Z变换更是让人摸不到头脑，甚至有学生提出“信号与系统这门课是数学课吗？”。如果将前述向量空间推广到函数空间，找到线性代数和Fourier变换的内在联系，那么这个困难的概念将会变得简单。

设有函数f（t）是以 T为周期的周期函数，且在[-T/2，T/2]可以表示为基 1，ejωt，ej2ωt，…的线性组合，然后通过令 T→+∞可以推导出Fourier变换的形式。这说明Fourier变换本质是在信号所在的线性空间中找到能够反映各个频率分量的一组基，然后用这组基在频率域分析信号结构的一种方法。由于需要微积分的支撑，这个概念显得十分复杂，但其实质却如力的分解一样简单。如果在线性代数课程中解决了向量空间和基的问题、在复变函数课中解决了级数问题，Fourier变换就不再困难了，随后在频谱、功率谱和滤波器等内容的学习中就不会“迷失在数学计算中而忘记了原本的目的”了。

5.4 数学原理在专业知识中的应用

不难看出，线性代数的基本概念能够清晰的反映各种变量之间的关系。当给这些变量赋予实际的物理意义时，线性代数同样能够使得看似复杂的技术变得简单明晰，现实生活中第三代移动通信系统（通常被称为3G）的核心技术CDMA（码分多址）技术就是一个对应的例子。

CDMA技术[8]能够实现在一个天线上允许多用户同时同地同频段通信，令多数学生很难理解的是：多个用户的信号混合为一个信号，如何利用不同的码字区分户信息呢。利用向量空间和基的概念，解决这个问题就如同物理学中的受力分解一样容易。

设一个CDMA通信系统，向用户A和用户B发送信息m1和m2，信息分别用码字 P1，P2来携带，发送信号分别记为S1=m1P1和S2=m2P2。如果用户A和用户B同一地点、同一时间接收信息，那么两个用户收到的信号均为混合信号S=S1+S2=每个用户需要从混合信号S中分别提取发给自己的信号。保证用户能够提取信号的关键是携带用户信息的码字P1，P2，它们通常是具有准正交特性的伪随机码，可以被看作是信号空间的一组基。用户A只需要将混合信号S向空间中的基P1进行投影，即可得到消息m1。同理，用户B将信号S向空间中的基P2进行投影，可以得到信息m2。

5.5 线性代数与数值计算相结合解决工程问题

线性代数在应用中的重要性随着计算机的发展而迅速增加。在线性代数的教学中，仅仅局限于手工计算求解方程组是远远不够的，在教学中应该说明工程问题如何对应成线性代数问题（即为数学建模）与如何借助计算机结合数值计算进行问题求解。计算方法课程中的插值问题可以作为一个很好的工程应用和计算机求解的例子。

针对一个系统未知y=f（x），由实验或者测量得到一组数据（xi，yi），i=0，1，2，…n 希望构造一个简单函数 p（x）作为函数y=f（x）的近似表达，使得 yi=p（xi），i=1，2，…n，这类问题即为插值问题[9]。假设使用n阶多项式求解出 ai，i=0，1，2，…，n，即可得到插值多项式 p（x）。 求解这个多项式一个可行的方法是拉格朗日插值，求解公式为该表达式形式允许工程师通过编程方便实现插值多项式的求解。问题是，表达式Ln（x）是笔者要的多项式吗？与希望得到的插值多项式是p（x）是一致的吗？结论是完全一致，之所以形式不同，是因为在n阶多项式空间中，选取不同形式的基函数，因而具有不同的线性组合形式。表1对比计算方法的插值问题、线性代数的向量空间中的基，通过对比，拉格朗日插值多项式的本质一目了然。

表1 向量空间中的向量与多项式空间中的插值多项式Tab.1 Vector in vector space and interpolation polynomials in polynomial space

6 结 论

由以上范例可以看到，在描述具体的工程问题时，线性代数理论与方法具有很强的适用性[10]。在授课过程中，如果教师能在数学课堂上说明这个概念的来源及应用，不仅能激发学生的学习兴趣，能够为未来的学习做铺垫，也能令学生们认识到数学的重要作用，引导他们理解抽象的数学概念，构建自己关于科学技术的认知体系。经过近5年教学改革实践，本文所提出的教学改革理念和方案，不仅提高了线性代数课程教学质量，而且也促进了数学建模、复变函数、计算方法、信号与系统、通信原理、信息论与编码、随机信号分析、移动通信等课程的教学质量的提高。

[1]威廉·费勒.概率论及其应用[M].3版.北京：人民邮电出版社，2006.

[2]陈怀琛，高淑萍，杨威.工程线性代数[M].MATLAB版.北京：电子工业出版社，2007.

[3]Hoffman K，Kunze R.Linear Algebra[M].2版.北京：世界图书出版社，2008.

[4]Halliday，Resnick，Walker.基础物理学[M].6版.北京：机械工业出版社，2001.

[5]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社，1991.

[6]西安交通大学高等数学教研室.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，1996.

[7]吴大正.信号与线性系统分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[8]郭梯云，邬国杨，李建东.移动通信[M].3版.西安：西安电子科技大学出版社，2005.

[9]王世儒，王金金，冯有前.计算方法[M].2版.西安：西安电子科技大学出版社，2006.

[10]David C.Lay，Linear Algebra and Its Applications[M].3版.北京：电子工业出版社，2010.