谈高职院校数学建模培训中《概率论》的教学

陈 宇

邯郸职业技术学院基础部

谈高职院校数学建模培训中《概率论》的教学

陈 宇

邯郸职业技术学院基础部

本文针对高职院数学建模培训的特点，提出在高职院校数学建模培训中概率论的教学原则，并结合全国大学生数学建模竞赛的具体案例加以说明，对高职数学建模培训提供了教学的依据。

数学建模；高职；概率；教学

数学模型是描述现实对象数量规律的由数字、字母或其它数学符号组成的数学结构，讨论建立数学模型的全过程称为数学建模。数学建模培训是一项面向大学生的课外科技活动，目的在于开拓学生的知识面，激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，培养学生的创新精神和协作意识，训练学生的逻辑思维能力和开放性思考方式。全国大学生数学建模竞赛自1992年创办以来，日益受到广大大学生的欢迎，已经成为目前全国高校规模最大的课外科技活动。全国大学生数学建模竞赛的大专组比赛始于1999年，我院于2001年开始参加大专组比赛，在数学建模竞赛培训中积累了丰富的经验。高职院校数学课的课时相对较少，学生的数学基础普遍较差，学生有很多数学建模所需的知识没有经过系统学习，即使学习过的知识也不能完全掌握和领会。因此，高职院校数学建模竞赛的组织与培训应有别于普通本科院校，并应针对学生的情况与特点建立一套独特的数学建模培训方法和内容。

在高职院校数学建模培训时，学生要在较短的学时内尽快掌握建模的基本思想和方法，这就需要教师归纳比较不同数学分支所解决问题的范围及思维方式，尽可能总结出一套系统的数学建模方法。概率论是研究随机现象及其规律的一门数学学科，以其实用性和善于处理随机现象的特点，广泛应用于经济学、政治学、生物科学等各学科领域以及社会生产实践中，是数学建模中不可缺少的知识和基本方法。因此，研究如何在数学建模中应用概率理论，如何做好数学建模培训中概率论的教学具有重要的意义。在数学建模训练中，为了让学生更好地运用概率知识，在教学中应做到以下几点：

1 引导学生深刻体会建模的内涵，全面理解所研究的实际问题，充分考虑到实际问题中的随机性影响

现实世界的变化受着众多因素的影响，这些因素根据其本身的特性及人们对它们的了解程度，可分为确定因素和随机因素两类。确定因素决定事物的必然规律，是人们所能认识而且能够控制的因素；随机因素使事物呈现统计规律，大量的随机因素未能为人们所认识或未能被人们所控制，但只要存在随机因素的影响，就必然会有所表现。从建模的背景、目的和手段看，如果随机因素可以忽略或者随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现，就可以建立确定性模型；如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型或利用概率知识解决问题。

例如，报童的诀窍问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。报童每天如果购进的报纸太少，不够卖，会少赚钱；如果购进的报纸太多，卖不完，将要赔钱。报童应如何确定他每天购进报纸的数量，以获得最大收益。显然，报童应该根据需求量确定购进量，而需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，随机分布影响决策，因此必须考虑随机因素对收益的影响，应该建立随机模型。

有时需要建立的并不是随机模型，但是其中一些问题或变量的处理需要考虑随机因素。例如，在2006年全国大学生数学建模竞赛D题《煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制》中，由于煤矿中瓦斯和煤尘的浓度会受到工作中诸多因素的影响，因此煤矿出现不安全情况带有随机性，据此该煤矿出现不安全情况的可能性就可以通过概率的统计定义进行计算。

2 熟练掌握概率的基本概念和知识，理解常用的重要分布，并能利用基本合理的假设将问题简化到可以用简单的方法解决

近几年全国大学生数学建模竞赛大专组的赛题中涉及的都是基本的概率知识，但是很多学生在训练的过程中并不能准确把握，究其原因之一就是对概率的基本概念和知识掌握不牢固，导致不能准确灵活运用。在建模的过程中关键是确定哪个变量是随机的，即搞清楚随机性的主要来源是什么，把这个主要来源设为一个随机变量，而且这个随机变量的分布是容易得到的，其他随机变量都可以写成它的函数，并明确这个随机变量服从于什么类型的分布。同时，合理的假设也是建立模型的关键。

二项分布是一种重要的随机分布模型，结合中心极限定理理论，在科学试验及生产管理中具有广泛的应用。例如，航空公司的订票策略问题：乘客是否按时前来登机是随机的，若假设每位乘客是否按时前来登机是相互独立的，则每位不按时前来登机的乘客数就是服从于二项分布的。虽然这种假设更适合于单独行动的商人、游客等，但是假设基本合理，且可以将问题简化到所学知识能够建模的程度。

例如，2009年全国大学生数学建模竞赛D题《会议筹备》：根据问题1的要求，要对本届会议与会代表的数量进行预测。代表是否与会显然是随机的，因此，实际与会的代表数量X是随机变量。设与会代表数量的最大值N中每人实际与会的概率为p，通过“以往每届与会代表的数量除以以往每届与会代表数量的预测值”再取平均可以得到p的估计值。可以假设各位代表是否实际与会是相互独立的，于是X服从于二项分布B(N,p)。当N较大时可以用正态分布近似二项分布计算。类似的，在2005年的D题《DVD在线租赁问题》中，某一种DVD的需求也是随机变量，同样可以看成是服从于二项分布的。

3 将数学建模策略的教学放在重要位置，加强数学建模策略与数学建模方法之间的联系

所谓数学建模策略是指在数学建模过程中选择解决方法、采取解决步骤的指导方针，是选择、组合、改变或操作与当前数学建模问题解决有关的事实、概念和原理的规则。研究表明，优秀学生在数学建模策略的掌握与运用方面具有较高水平，而一般学生的数学建模策略运用水平较低。掌握一些有效的数学建模策略，能有效提升学生的数学建模能力，因此教师应将实施数学建模策略的教学放在重要位置。

一个数学建模问题案例实质上意味着多种数学建模策略在此特定的情境中发生特定的联系，解析一个数学建模问题的过程就是将多种数学建模策略迁移至此情境的过程，关注每个现实问题所包含的多种数学建模策略的应用，有助于理解和掌握多种数学建模策略在解决同一情境问题时的有效协同。因此，在数学建模教学过程中，应向学生明确揭示数学建模活动过程所蕴含和所运用的一般思维策略，并鼓励学生在数学建模实践活动中有意识地使用，使学生通过教师的教学和建模训练的过程，不断增强数学建模策略运用的灵活性，提升数学建模能力。数学建模的一般思维策略包括：解题时，先准确理解题意，从整体上把握题意，理清复杂关系，挖掘蕴涵的深层关系，把握问题的深层结构；在理解问题整体意义的基础上判断解题的思路方向；充分利用已知条件信息；克服思维定势，进行扩散性思维；解题后总结解题思路，举一反三等等。

例如，传送系统的效率问题：在机械化的生产车间里，工作台旁的工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

首先，引导学生分析传送系统的工作情况和特点，并据此进行合理的假设：进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。工人们生产周期虽然相同，但是由于各种随机因素的干扰，经过相当长的时间后，每人生产完一件产品的时刻就会不一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同；假设n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产进入稳态后每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的。然后，在模型分析和假设的基础上寻找解决问题的关键：传送系统长期运转的效率等价于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品的数量与一周期内能生产的产品的数量之比来描述。最后，在计算传送带效率为一周期内运走的产品数s时，如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产品挂上挂钩的概率，就会使问题复杂化。此时可以引导学生克服思维定势，转换改变考虑问题的角度：从挂钩的角度考虑，在稳定状态下挂钩没有次序处于同等的地位，因此很容易能求出一周期内的每只挂钩非空的概率p，则s=mp（m为挂钩的数量）。

总之，在教学中结合具体的数学建模案例引入数学建模策略的教学，有利于学生在数学建模实践活动更好地把握建模的思维策略，更好更快地提升数学建模能力。

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10.3969/j.issn.1001-8972.2012.23.118

陈宇（1974-）.女，河北邯郸人,邯郸职业技术学院,副教授,研究方向：数学教育。