黄金分割数及其在社会生活中的应用

苏金凤

(陕西省绥德师范学校(榆林第二实验中学)，陕西 绥德 718000)

黄金分割数，它的发现最早可追溯到毕达哥拉斯学派的工作中。当时毕氏学派由于掌握了正五边形和五星图的作图方法而把五星图作为学派的徽章。并要求:凡毕氏学派学员都要佩戴五星图纪念章。毕氏学派研究五星图时发现:相邻顶点的两条对角线互相将对方分割成一长一短两部分，它们满足一种和谐的关系式。全线段:较长的=较长的:较短的，而且较长的一段正好等于正五边形的边长。即:在线段AB上取一点P，把AB分成AP、PB两段，且满足AB:AP=AP:PB(见图1)，这也就是黄金分割。

图1 黄金分割比例图

毕氏学派画五星图就是采用图2的“奇妙分割”作依据的［1，2］。他们以AB为一边作正方形ABCD(如下图2)，取 AD的中点 E，延长 DA至 F，使EF=EB。作正方形AFGP，则点P即为所求的“奇妙分割”分点。

在毕达哥拉斯去世后约150多年，古希腊数学家欧多克斯(Eudoxus，公元前408～355年)创立了比例论并研究毕氏学派的“奇妙分割”，他把分割中较短线段与较长线段之比叫做“中外比”，并发现:五星图中的每一条线段都跟比它稍长的那条线段形成“中外比”。而用平面几何的方法最先完美地论证“中外比”是在古希腊几何学家欧几里德(Euclid，约公元前330～公元前275)的《几何原本》中。直至欧洲文艺复兴时期，意大利著名画家达·芬奇(Da Vinci，1452～1519)才首次命名这种比例关系为“黄金分割”，从那时起，黄金分割的美名一直沿用至今。而这种特殊比的数值是在无理数被确认后才给出。给出的过程如下:

图2 奇妙分割分点

在图 1 中，设 AB=l，AP=a，则 PB=l－a，可见黄金比，人们把这个数叫做“黄金分割数”。所谓的0.618就是黄金分割数的近似值［2，3］。

十七世纪德国伟大天文学家约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler，1571 ～1630)曾说过，几何学中存在两件珍宝，一是勾股定理，二是中外比(即黄金分割率)。断言:宇宙万物，凡符合黄金分割率的，总是最美的形体。历经两千多个春秋，它已在人类社会生活的各个领域得到了广泛的应用［4］。

1 黄金分割数在美学方面的体现及其应用

1.1 在人体上的验证

据研究:如果人体均符合“人的头顶至脐与脐至脚底之比、臀宽与躯干长度之比、下肢长度与上肢长度之比、下肢长度与全身长之比都是0.618，且眼位于发际至颊底的上、中三分之一交界处，鼻下点位于发际至颊底中、下三分之一交界处［5］”，就会显得相貌端庄，体貌匀称。模特的身体之所以给人以美的享受就是这个原因。由于一般人身长与躯干之比大约只有0.58，因而芭蕾舞演员在翩翩起舞时要不时的踮起脚尖。同样的道理女孩子喜欢穿高跟鞋，也是为了让自己的体型更加匀称、完美。

1.2 在实验中的验证

1876年，德国近代实验美学家费希纳·古斯塔夫·西奥多(Fechner Gustar Theodor，1801～1887)曾做了一个有趣的实验，他精心设计出许多不同的矩形;然后邀请许多朋友来参观，请他们各自选一个自认为最美的矩形;结果，592位来宾选出了4个矩形，这4个矩形看上去协调、匀称、舒适，确实能给人一种美的享受，费希纳动手测量了这4个矩形的边长，发现它们的宽和长分别是 5，8;8，13;13，21;21，34，而这些矩形的宽与长之比都出乎意料的接近于0.618，5/8≈0.625，8/13≈0.615，13/21≈0.625，31/34≈0.618，这是偶然的吗?其实只要我们细心留意观察，生活中到处充满美妙的黄金分割0.618舞台表演时，主持人通常会站到舞台的黄金分割处，这样观众就感觉到很匀称，而且声音的传播效果也最好。

1.3 在音乐中的应用

美国数学家乔巴兹分析得:莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，这是什么原因呢?一位美国音乐家回答:莫扎特喜欢数字游戏并懂得黄金分割，可能是在有意识地运用黄金分割数。中国一位二胡演奏家在漫长的演奏生涯中发现:如果把二胡的千斤放在琴弦某处，音色出现无与伦比的美妙，数学家对这种现象进行分析发现:千斤所在位置正是琴弦的黄金分割点。不仅如此，国际经典乐章《十面埋伏》、《命运》、《蓝色多瑙河》等的高潮无不落在全曲中的黄金分割点处。因而我国音乐家、作曲家钱仁康(1914～)教授说:“艺术上的‘黄金分割’比例和音乐中高潮的位置有密切的联系”。

1.4 在绘画上的应用

为何参观的人在现藏于法国巴黎罗浮宫博物馆的意大利著名画家达·芬奇的代表作《蒙娜丽莎》画前留恋往返，一看再看呢?人们研究得知此油画的人体比例适合黄金分割比例。同样其《最后的晚餐》中犹大形象也处在黄金分割点上。正是由于这些发现才有了现代绘画和摄影作品中，画面的中点也往往置于布局的黄金分割点处。

1.5 在建筑上的应用

古希腊雅典的巴特农神殿(Baht Agriculture Temple)，大理石柱廊高恰好占整个神殿高度的0.618;古埃及的胡夫大金字塔，其高与底部正方形边长之比为0.62;埃菲尔铁塔在比例上也适合黄金分割法;加拿大的多伦多电视塔，嵌在塔中上部的扁圆的空中楼阁，恰好位于塔身全长的0.618处。因而在现代，日常生活用品中，如书本、柜厨、门窗等它的宽、长之比满足0.618，则被人们普遍接受;人们也常常在高塔的黄金分割点处建造楼阁或设置平台，能使平直、单调的塔身多姿多彩;而在摩天大楼的黄金分割处设置腰线或装饰物，可使整个楼显得宏伟而雅致。

2 黄金分割数在地理学中的体现及其应用

地球围绕太阳公转，同时又在不停地自转。因而地球自转轴与公转道形成一个夹角。当地球公转至不同地点时，太阳光直射到地球表面的点是不同的。冬至时直射到地球南纬23.43°，而夏至时则直射到地球北纬23.43°，人们把这两个角的纬度线称为南、北回归线。科学研究发现:地球的南、北回归线就是地球的“黄金分割”线，直射太阳光就在两条“黄金分割”线之间移动，运用部分与整体的比例方法计算:(23.43°+90°)/180°≈0.6301，这个数与0.618非常接近。从地图上看，南回归线、北回归线附近地区地上地下物产丰富。因而人们不由得想到:由回归线处于地球上黄金分割的位置则知“黄金分割”与太阳光直射角有关。

同样地理环境的形成也离不开太阳、月球等星体对地球的影响。地表的纬度范围是0°～90°，黄金分割的结果是34.38°～55.62°，它应是地表的黄金地区。这些地区平均气温、年日照时数、降水量、相对湿度等多方面因素都是适于人类生活的最佳地区的一个验证。

3 黄金分割数在生物学中的体现及其应用

植物学家们观察到:当一株嫩芽抽枝吐叶时，如果从这株嫩叶的顶端看下去，可以看到上、下层相邻的两片叶子之间的夹角为127.5°的角度。如果每层叶子只画一片来表示，第一层与第二层相邻两叶之间的角度差约为137.5°，以后二层～三层，三层～四层，四层～五层，……，两叶之间都成这个角度。我们知道，一周角为360°，那么就有:

137.5 °/(360°－137.5°)≈0.618 的结果，而这种事实已被生物学家证明对叶子的通风和采光最为有利。同理向日葵的种子也是按特定的对数螺旋线排列的，而它们的螺旋线上的距离竟也服从黄金分割规律。其实早在中世纪的欧洲，就有人发现美妙的植物叶片、花瓣、松果壳瓣从小到大的序列，即是以0.618:1的近似值排列的。而动物学家在某些动物角质体上，有甲壳的软体动物身上，也都发现了“黄金螺线”。建筑学家们还利用这一现象来设计螺旋状大厦，以使每个房间都得到充足的阳光照射。

4 黄金分割数在医学上的体现及其应用

据医疗气象学家研究表明，人体感觉最为舒适的气温是22℃ ～23℃，在这个温度环境中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢水平处于最佳状态，而人体正常体温一般是36℃ ～37℃，这两个数字之比正符合黄金分割率。

医学家指出:人吃饭，一般吃六、七成饱最佳，并且摄入的饮食以六分粗粮、四分精粮为宜，这样有益于肠胃的消化吸收。除此之外，合理的生活作息也会使人延年益寿，一天24 h中，2/3时间用于工作与生活，1/3用于休息睡眠乃是最佳的养生之道。研究还证明了生理抗衰与心理抗衰之比也符合黄金分割，即人们可以通过充分调动协调心理和生理两方面的力量来延缓衰老，以达到延年益寿的最佳效果。

近年来，一些学者通过对3万名精神分裂症病人和2万名癌症病人进行调查并经统计分析发现:精神分裂症病人出生于1月、2月者居多，7月、8月者居少;癌症病人生于12月、3月者居多，7月、8月者居少。上述调查与出生地点无关，因而他们认为:人们的出生月份(指农历)与患病类型存在着内在联系:如果将1、12进行黄金分割得7.4，恰值7月至8月之间，若上推怀孕的九个月零十天，大约为11月份，即为妇女最佳受孕自然高峰期。据医学人士分析:7月、8月份这段时间人体血液中的淋巴细胞数量最多，由于淋巴细胞可以产生抵抗各种微生物的淋巴因子，因而人的免疫力较强、较少生病，成为人体抵抗力最强的时期。这就为人类的优生优育提供了有力的科学依据。

人们早已知道，人的面部五官符合黄金比例。因为眉、眼间存在一定的比例关系，它包含了眉与眼的关系、重睑线与眼裂宽度的关系，现代医学中的重睑美容术采用“测出活体上眉下缘到下睑缘的距离，利用线段比值关系(黄金分割)计算出重睑线的理想数值。”为科学依据。对要求重睑美容术者，通过测量眉－眼间有关线段计算其线段的比值，即可知道是否需要重睑术，以此测算看手术后能否重建美的比例关系，使它达到或接近黄金比0.618，以达到美容效果。

5 黄金分割数在经济、管理学中的应用

5.1 统计调查和分析中的应用

在调查方案的设计中，黄金数有时可以帮助我们以最小的投资获得最大的效益。在典型调查中可以用下面的公式对分类总体确定要调查的类别:(最高类别－最低类别)×0.618+最低类别。从理论上说，在精确度要求不太高的情况下，是完全可行的，而且有时还可以用来验证全面调查数字的真实性。

如以对学生调查为例先将全年级同学按平均成绩分成五类:不及格;60分～69分;70分～79分;80分～89分;90分～100分。由上列公式求得要调查的类别为:(5－1)×0.618+1=3.472了，即要对平均成绩在70分～89分之间占总数的67.1%的同学进行调查表明，这部分同学程度已达97.3%了。

统计分析中，如果在统计资料中选取某一关键数值指标中最高值与最低值之间黄金点附近的数据进行重点分析，往往会收到事半功倍的效果。例如，在分析近年农民家庭经营情况时，将1989～1992年住户调查分户报表中人均纯收入这一指标中的黄金分割点附近调查户数据。进行对比分析，节省了大量人力物力，取得了令人满意的结果。

5.2 在商业和消费中的应用

商品的价格往往是人们十分关注的问题，在购买商品时，考虑对商品价格高低档的选择时，也可以用黄金数的原理来确定你认为较合适档次商品的价格:(高档价－低档价)×0.618+低档价，如果你仍然觉得价格太高或太低，不合适，那可将算得的数作为高档或低档价再按上式算一次，直到自己可以接受为止。运用这样的方法，生产厂家也会掌握产品的成本与销量关系，他们在确定某商品的批发价时也会用公式:批发价=(零售价－成本)×0.618+成本。然而，事实验证，这正符合了人们的购买趋势。小户型在面积大小上存在黄金分割，在30～80平米间，存在一个黄金分割数50余平米，此户型在商场上的热度超过了其他规格，因为它不仅为商家节省了户型面积，而且满足消费者高品质的居家生活，更重要的是为双方减少了不必要的经济负担。

5.3 在制冷与采暖选取设备中的应用

长期以来，在空调系统设备选型进程中，存在着一个盲点，即不知道在总供热量和总制冷量已确定的情况下，如何选择机型?通常的做法是将总供热量或总制冷量平均分成若干份，再选择若干台机器来进行供热和制冷，实际上这是不合理的。为了便于调节，同时也为了节能，延长设备使用寿命和便于维修，正确的设备选型方法应按照下述公式:设备负荷=最大负荷×0.618进行选择。如果仍然过大，则再将上述公式应用一次或若干次，计算完成取整后，在进行设备负荷的组合。例如:总制冷量为260×104kcal/h的天河机场航站楼，如何配备冷水机组?原来的做法是选择两台130×104kcal/h的冷水机组，这样，单台机组的制冷量均超过100×104kcal/h，过大，不便于调节。按照黄金分割法:260×104kcal/h×0.618=160×104kcal/h，再对160×10 kcal/h进行黄金分割:

因此，最后实际上是选择两台100×104kcal/h的冷水机组和一台60×104kcal/h的冷水机组。

从初夏到渐热再到盛夏，只要依次使用60×104kcal/h的冷水机，再单独开启一台100×104kcal/h的机组，然后换成一台100×104kcal/h和一台60×104kcal/h的两台机组组合或者两台100×104kcal/h的机组组合。盛夏时，开启3台机组。这样选择更加合乎情理。

6 黄金分割数在军事上的体现和应用

6.1 黄金分割数0.618在军事武器中的应用

在冷兵器时代，人们在制造宝剑、刀、长矛等武器时，黄金分割率已处处体现了出来，因为按这样的比例制造出来的兵器，用起来会更加得心应手。当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了1918年，一个美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例。实际上，从锋利的马刀刃口的弧度，到子弹、炮弹、弹道导弹沿弹道飞行的顶点;从飞机进入俯冲轰炸状态的最佳投弹高度和角度，到坦克外壳设计时的最佳避弹坡度，我们也都能很容易地发现黄金分割率无处不在。在大炮射击中，如果某种间瞄火炮的最大射程为12 km，最小射程为4 km，则其最佳射击距离在9公里左右，为最大射程的2/3，与0.618十分接近。在进行战斗部署时，如果是进攻战斗，大炮阵地的配置位置一般距离己方前沿为1/3倍最大射程处，如果是防御战，则大炮阵地应配置距己方前沿2/3倍最大射程处。

6.2 黄金分割数0.618在战术布阵上的应用

春秋战国期，晋厉公率军伐郑，与援郑之楚军决战于鄢陵。厉公听从楚叛臣苗贲皇的建议，把楚之右军作为主攻点，因此以中军之一部进攻楚军之左军;以另一部进攻楚军之中军，集上军、下军、新军及公族之卒，攻击楚之右军。其主要攻击点的选择，恰在黄金分割点上。成吉思汗的蒙古骑兵之所以能像飓风扫落叶般地席卷欧亚大陆，除了游牧民族的彪悍勇猛、善于骑射以及骑兵的机动性以外，更为重要的原因是蒙古骑兵的战斗队形:在它的5排制阵形中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动轻骑兵的比例为2∶3，近似于黄金分割数。

此外，在现代战争中，许多国家的军队在实施具体进攻任务时，往往是分梯队进行的第一梯队的兵力约占总兵力的2/3，第二梯队约占1/3。在第一梯队中，主攻方向所投入的兵力通常为第一梯队总兵力的2/3，助攻方向则为1/3。防御战斗中，第一道防线的兵力通常为总数的2/3，第二道防线的兵力兵器通常为总数的1/3。

总之，黄金分割是非常迷人的，它有着丰富的内涵，尽管我们已经看到了它的千奇百态，却至今还没有探到它的谜底，它正用它迷人的微笑向我们的智慧挑战。随着社会和科学的发展，人类会在更为广阔的领域里应用到它。自然之迷永无穷尽，智慧之创永远有用武之地。

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