王建豪 赵利通
(临城中学 河北 邢台 054300)
纯电阻电路最大输出功率,可根据电源输出功率公式和闭合电路欧姆定律推出.具体推导如下.
基本模型:如图1所示的闭合电路中,电源的电动势为E,内阻为r,外电路电阻R为可变电阻,求当R为何值时电源有最大输出功率,最大输出功率为多少.
图1
推导:电源的输出功率就是可变电阻消耗的功
率.设电源的输出功率为P出,则有
P出=I2R
而由闭合电路欧姆定律知
两式联立得
电源的输出功率P出与外电阻R的函数关系可用如图2所示的图像定性地表示.
由上式及图像可得出以下结论:
(1)当R=r时,输出功率最大为
(2)当R (3)当R>r时,P出随R的增大而减小. 图2 说明:上述情况都是在E和r不变的情况下适用. 而对非纯电阻电路,闭合电路欧姆定律不成立,那么,如何求解非纯电阻电路电源的最大输出功率呢? 基本模型(以含有电动机类非纯电阻电路为 图3 例):如图3所示,内阻为R的直流电动机,接在电动势为E,内阻为r的直流电源上,电动机工作时(设其内阻可变),求电源的最大输出功率. 推导:在含有非纯电阻用电器的闭合电路中,电动机工作时,电路中的电流设为I,这时 因为在外电路中,除了产生内能外还有机械能产生,电源提供的功率IE,一部分被电源消耗I2r,另一部分消耗在外电路上,即I2R+P机,根据能量守恒,有 IE=I2r+I2R+P机 即 得 所以 设电源输出功率为P,则 只能根据能量守恒按P=IE-I2r讨论. 此时,电源输出功率P与I的关系为二次函数,其函数关系图线如图4. 图4 由此可得 (2)电路有最大输出功率时,有 与纯电阻电路情况相同. (3)由于 P出=UI>PR=I2R 即 UI>I2R 所以 即电路有最大输出功率时,r>R,与纯电阻电路不同. 图5 方法1:与纯电阻电路比较 图5(a)为纯电阻电路,当滑动变阻器R1=2 Ω时,R外=R1+R0=3Ω=r,所以,电源有最大输出功率并设为P1max,则 图5(b)尽管为非纯电阻电路,但其电源与5(a)电源相同,电源输出的最大功率与图5(a)相同,即 P2max=P1max=12 WI2=I1=2 A 此时电动机功率PM=6 W,则变阻器R2功率 P2=P2max-PMP2=6 W 又 所以 R2=1.5 Ω 电动机产生的热量 方法2:用推导结论 同样可得变阻器R2功率 P2=P2max-PMP2=6 W 又 所以 R2=1.5 Ω 电动机产生的热量 显然,方法2更简洁. 【例2】如图6所示,电源电动势E=12 V,内电阻r= 1 Ω,R2为保护电阻,阻值R2=2 Ω,电流表内阻不计.开关S闭合瞬间,流过电流表的电流为8 A,一段时间之后,电动机正常工作,此时电源输出功率最大,求电动机正常工作时,输出机械功率多大,电动机效率为多大. 分析:开关S闭合瞬间,电动机还没转动,可看做纯电阻电路 R并=R总-rR并==0.5 Ω 而 所以,电动机内阻 图6 电动机正常工作时,电路为非纯电阻,据非纯电阻电路电源输出最大功率条件,此时电源电流 又 U=E-I′rU=6 V 得通过R2的电流为 所以流过电动机电流 IM=I′-I2IM=3 A 电动机输入功率 PM=UIMPM=18 W 电动机热功率 电动机输出功率 P出=PM-PR1P出=12 W 电动机的效率为 基本模型:如图7,交变电源的电动势为U,内阻为r,变压器原、副线圈电压分别为U1,U2,原、副线圈的电流分别为I1,I2,匝数分别为n1,n2,所接负载为滑动变阻器R.求电源的最大输出功率. 图7 推导:由变压器工作关系知 (1) (2) 负载滑动变阻器电阻为 (3) 将图7中虚线框等效为负载电阻R′,则 将式(1)~(3)代入得 将等效负载视为电阻,则电路可简化为图8,等效为纯电阻电路,再结合纯电阻电路输出功率最大值的推导得 时,电源的输出功率最大,且最大值为 图8 【例3】如图9,交流信号源的电动势E=120 V,内阻R0=800 Ω,负载为扬声器,其等效电阻为RL=8 Ω . 图9 (1)当将负载直接与信号源连接时, 求信号源输出的电流及负载获得的功率. (2)如图10,利用变压器使信号源输出最大功率,求变压器的匝数比、信号源输出的电流及负载获得的功率. 图10 (4) 又因为等效负载 (5) 联立式(4)、(5)得 结合推导中图8和闭合电路欧姆定律得信号源即电源电流 此时,电源有最大输出功率,且最大值为 而电源的输出功率为变压器的输入功率,可得变压器的输入功率P入=4.5 W,因为理想变压器输入功率与输出功率相等,得变压器的输出功率P出=4.5 W,变压器输出功率即为负载获得的功率,所以,负载获得功率 PL=P出=P入=Pmax=4.5 W 由上述运算还可知,接入变压器以后,信号源输出电流减小,而负载获得的输出功率大大提高. 小结:求解含有变压器电路的最大输出功率的思路为等效负载、变压比与闭合电路欧姆定律相结合.2 电动机类非纯电阻电路中电源的最大输出功率
3 变压器类非纯电阻电路中电源的最大输出功率