一个恒定Lyapunov指数谱鲁棒混沌系统及其微控制器实现

朱 雷，刘艳云，周小勇，乔晓华

（1.江苏技术师范学院 电气信息工程学院，江苏 常州 213001；2.常州纺织服装职业技术学院 机电工程系，江苏 常州 213164）

以及共同的特征多项式

1963年，第一个混沌系统被美国学者Lorenz发现[1]，从此对混沌系统的研究受到国内外学者的广泛关注。1999年，陈关荣等提出了与Lorenz系统对偶的Chen系统[2]。2002年，吕金虎等发现了连接Lorenz系统和Chen系统的Lü系统[3]。在此基础上，新的混沌系统不断被发现[4-6]。从工程应用可靠性角度出发，混沌系统应该具有鲁棒性，以避免因控制参数的扰动而使系统进入非混沌状态。恒定Lyapunov指数谱混沌特性则是一种特殊的鲁棒混沌特性。2008年，包伯成等提出了一个含指数乘积项的鲁棒混沌系统[7]。2009年，李春彪等提出了一个恒定Lyapunov指数谱混沌系统[8]，系统具有3个控制参数，其中一个参数可使系统处于恒定Lyapunov指数谱混沌状态。此后，李对系统进行了改进[9]和推广[10]。2011年以来，新的恒定Lyapunov指数谱混沌系统不断被提出[11]或构建[12-13]。这些系统的一个共同特征是具有多个控制参数，其中1个或2个参数具有恒定Lyapunov指数谱混沌特性，而其它参数的变化则可能导致系统进入非混沌态。在此研究背景下，为提升系统的鲁棒性，文中在基本Sprott-B混沌系统模型的基础上[14]，引入1个控制参数改造其状态方程，构建出一个恒定Lyapunov指数谱鲁棒混沌系统。进一步的研究则表明控制参数对于系统的混沌振荡还具有线性或非线性调幅作用。此外，在采用改进的Euler算法进行离散化的基础上，通过微控制器MSP430F249对系统进行了实验验证，观察到了系统的混沌吸引子。

1 恒定Lyapunov指数谱鲁棒混沌系统模型

美国学者Sprott在1994年提出的基本Sprott-B混沌系统[14]表示为：

系统（1）具有两个指标 2 的鞍焦平衡点 S1=（1，1，0）和S-1=（-1，-1，0），从而表现出一个两翼蝴蝶混沌吸引子。

通过引入参数a并加载于系统 （1）的第一和第三个方程，从而构建出一个恒定Lyapunov指数谱鲁棒混沌系统，其数学模型可表示为：

式中，a>0，x，y，z为系统的状态变量。显然，当取参数 a=1时，系统（2）便退化为基本Sprott-B系统（1）。当取参数 a=4时，系统存在一个典型的两翼蝴蝶混沌吸引子，如图1所示。此时系统 （2） 的 3个 Lyapunov指数为 LE1=0.213，LE2=0，LE3=-1.212，Lyapunov维数为 dL=2.176。

图1 系统（2）的混沌吸引子（a=4）Fig.1 Chaotic attractor of system （2）（a=4）

2 系统的动力学分析

2.1 基本动力学分析

对于系统（2），在变换（x，y，z）→（-x，-y，z）下具有不变性，因此系统关于z轴对称，且系统满足

从而系统（2）耗散，且耗散性与参数a无关。代数计算可得系统（2）的两个平衡点为 Q1=（，，0）和 Q-1=（-，-，0），分别在平衡点Q1和Q-1处线性化系统（2），得其 Jacobi矩阵：

和

以及共同的特征多项式

根据Routh-Hurwitz判据，平衡点Q1和Q-1均不稳定，可能产生混沌， 数值计算表明其特征根为 λ1=-1.353 2，λ2，3=0.176 6±1.202 8i，平衡点Q1和Q-1均为指标 2的鞍焦点，且其特征根与系统参数a无关。因此，参数a不影响系统在相空间上的动力学特征，在a变化时，系统（2）的Lyapunov指数保持恒定，下面进一步通过Lyapunov指数谱和分岔图来揭示参数a的改变对系统状态及动力学行为的影响。

2.2 恒定Lyapunov指数谱鲁棒混沌特性分析

取参数区间 a∈[0.1，20]， 数值仿真得到系统 （2）的Lyapunov指数谱和分岔图，如图2所示。这里x-a分岔图和y-a分岔图选择的Poincaré截面为z=0平面，而z-a分岔图选择的Poincaré截面则为动态的x+=0平面。从图2可见，随着a的变化，系统处于鲁棒混沌状态，其Lyapunov指数谱保持恒定，且参数区间内的Lyapunov指数实质就是系统在a=4时的Lyapunov指数值，需要说明的是由于数值计算的精度等因素使得Lyapunov指数谱谱线有轻微的波动。分岔图则清晰地表明，随着a的增大，系统的输出信号x和y的混沌振荡幅度非线性地增加，而z的振荡幅度线性地增加。

图2 a变化时系统（2）的Lyapunov指数谱和分岔图Fig.2 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram with changing a of system （2）

2.3 调幅特性分析

上述Lyapunov指数谱和分岔图仿真揭示出参数a的改变不影响系统的混沌特性和混沌强度，但却可以改变系统的振荡幅度，进一步的理论分析则可以证明参数a对于系统的混沌振荡具有线性或非线性调幅作用。

定理1系统参数a是全局调幅参数，输出信号x和y的幅值与a呈幂函数关系变化，其指数均为1/2，输出信号z的幅值与a呈线性关系变化。

由此可知，a是全局调幅参数，系统（2）的状态变量x和y的非线性调整对应于参数a的线性尺度变化，且输出信号x和y的幅值与a呈a1/2关系变化，即与a呈幂函数关系变化，其指数为1/2，而状态变量z的线性调整等价于参数a的线性尺度变化，即输出信号z的幅值与a呈线性关系变化。证毕。

3 微控制器实现与实验验证

为通过微控制器以数字方式实现系统（2），须首先对系统进行离散化处理，从而使系统微分方程转化为差分方程。对常微分方程的常用离散方法包括Euler算法、改进的Euler算法和Runge-Kutta算法等。在3种算法中，Euler算法效率最高，但精度相对较低，Runge-Kutta算法的数值计算精度最高，但基于微控制器实现时效率相对较低。综合考虑算法效率和系统运行的实时性，文中选择改进的Euler算法对系统（2）进行离散化处理，从而得到：

式中h为步长，n为迭代次数，且

实验过程中选择TI公司著名的16位低功耗微控制器MSP430F249，结合Linear Technology公司的16位高速并行D/A转换器LTC1668，实现混沌信号的物理产生，通过示波器XY输入方式便可观察到系统的混沌吸引子。根据式（8）、（9）和（10）可以编制出基于MSP430F249的C语言程序，取参数a=4，程序中设置 （x，y，z）的初值为（0.45，0.45，0），步长 h=0.001，采用高分辨率的安捷伦DSO7032A数字示波器进行了实验观察， 结果如图 3 所示。 通过与图 1（b）、（c）、（d）对比可以发现，系统运行后得到的混沌吸引子验证了前文的数值仿真结果，二者保持一致，以基于微控制器的数字方式完全可以实现本文所构建的恒定Lyapunov指数谱鲁棒混沌系统。

图3 微控制器实现的混沌吸引子Fig.3 Chaotic attractor implemented by Microcontroller

4 结 论

文中在基本Sprott-B混沌系统的基础上，引入1个系统参数a后改造原系统的第一和第三个方程，从而巧妙地构建出一个恒定Lyapunov指数谱鲁棒混沌系统，该系统具有两个受参数a控制的指标2的平衡点，能表现出典型的两翼蝴蝶混沌吸引子。研究过程中利用相轨图、Lyapunov指数谱和分岔图等动力学分析手段对新系统进行了数值仿真，研究结果表明，系统对参数a保持恒定的Lyapunov指数谱，从而可以工作于鲁棒混沌状态。理论分析则揭示出参数a对于系统的混沌振荡具有线性或非线性调幅作用，从而为其在混沌保密通信等领域的应用奠定了理论基础。在仿真研究和理论分析的基础上，采用基于微控制器MSP430F249为核心的数字方式对系统进行了实验验证，采用改进的Euler算法进行系统的离散化处理，利用C语言编程，通过对混沌吸引子的观察，实现并验证了本文所构建的恒定Lyapunov指数谱鲁棒混沌系统。

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[14]Sprott JC.Some simple chaotic flows[J].Physical Review E，1994，50（2）:647-650.