流水车间部分资源柔性的度量

郭艳东，伦淑娴

（渤海大学 辽宁 锦州 121013）

在生产进程中，资源柔性涉及动态再分配一个或者多个可利用的资源。当工作的进程时间依赖于分配给它的资源数时，柔性资源能够打破进程的瓶颈，从而能够提高系统的有效性和效率。目前的研究都是建立在完全资源柔性基础上的，即，在连续机和并行机环境下，当每一个资源单元被分配给生产进程的任何一个阶段时，能够实现有效的改进经营业绩[1]。

本文的研究目的是探索部分资源柔性程度的度量，尤其是考虑了工作站上发生瓶颈的权重。例如组装电子开关设备就是部分资源柔性流水车间的例子，工作在一个连续的工作站上顺序执行，而每一项工作的时间是分配给这个工作站上的工人数量的函数。像这样的生产线环境，部分资源（劳动力）柔性是一个很重要的问题，柔性度是由哪些工人被交叉训练去执行一个生产在线工作的子集来确定的。

由于人特有的灵活性，劳动力能够提供在广泛的可利用的柔性资源中最一般的例子。柔性机器包概括柔性制造系统，提供了柔性资源的两个例子（Sethi and Sethi 1990）。文中专门讨论流水车间下的劳动力柔性问题，给出生产系统中的资源柔性的混合的度量方法。本文研究系统规划和流水车间环境下，进程时间依赖于分配给工作的劳动力数量的部分柔性劳动力调度的管理问题，指导劳动力成员的再分配。

Jordan和 Graves（1995）提出了生产设备部分柔性的收益，并在设备之间进行产品的分配。这些原理能够为改进管理决定提供简单易懂执行力又很强的指导。本文发现适当的改进这些原理能够应用到流水车间环境。例如：形成链的概念（工人在连续的工作站上被训练），展现了一个完成灵活性利益的有效方法，将这个原理拓展到流水车间环境[2]。资源柔性度量的研究借鉴了柔性制造的相关文献[3-6]。

1 问题背景

N={1，2…，n}表示一组工作，工作有顺序的在一组工作站上被操作，M={1，2…，m}表示工作站，R={1，2…，r}表示工作站发生瓶颈的权重，连续的工作站形成了流水车间。为了方便，我们简称工作站为“站”。工作i在每一个站j都按照相同的顺序操作（i，j）。每一个工作操作的时间依赖于分配给它的劳动力（被训练过的），如果k个工人被分配执行操作（i，j），则进程时间为个时间单元。假设无论何时则 k′＞k″，即≤，操作的处理时间不会随着分配给它的工人数量的增加而增加。

W={1，2…，w}表示工人的集合，他们每一个人被训练的工作是工作站的子集。工作站的技能矩阵S是一个很有用的工具用来区分哪一个工人被训练那些工作站。具体的，S=Em×m矩阵 S=（shj），h∈W，j∈M，定义为：

明显操作矩阵如果对应的是经典的流水车间调度问题是一个m×m的单位矩阵（Im×m），每一个工人预先分配给一个唯一的工作站。另一个极端，如果S=Im×m，m×m矩阵上的所有元素都等于1，就是所谓的完全柔性流水车间，Daniels and Mazzola （1993，1994）研究的例子。

对于任何一个可行操作矩阵S，对应的FSPRF问题，表示为FSPRF（S），同时能够识别出n项工作的顺序，根据技能矩阵的可行性，动态分配给工作操作的数量，伴随mn项工作操作的进程率（由被分配到操作上的工人数所确定）说明。工作顺序、进程率说明和动态分配劳动力的可行性这3个子问题需要有机的结合已到达总完工时间最小化的目标。

值得注意的是，当 S=Im×m时，FSPRF（S）简化到了经典的流水车间调度问题，该问题已被认为是NP难问题。（Garey et al.1976， Garey and Johnson 1979）。

2 技能矩阵和部分资源柔性的度量

在这节我们展开技能矩阵的讨论，根据每个工人的多个工作站上个人技能情况，通过时间安排的界限动态调配工人。具体的，定义一些重要的条件和适合描述矩阵的符号，用一个例子来图示这些观点，并且度量部分资源柔性。

2.1 技能矩阵

技能矩阵的支集 supp（s），定义为{（h，j）∈W×M：shj=1}。因此对于任何一个可行的 w×m 技能矩阵 S，|supp（Cm，k）|=km。

例1：考虑一个4个工人和4个工作站的问题，假如：

这个例子中，工人1在工作站1、4上被训练过；工人2在工作站2、4上被训练过，等等。因此每一个工人的操作集就是：={1，4}，={2，4}，={1，3，4}。=2，==3。类似的， 对于每一个机器={1，3，4}，={2}，={3，4}，{1，2，3，4}，=3，=1，=2，=4。

同时这个技能操作矩阵也显示出任何一个工作站的最快进程速度和执行情况。例如=3，分配到工作站1上的任何一个操作的最快进程速度就是分配3个工人到这个站上工作。工作站4，有能力进行操作的涉及4个工人。

显然，如果技能矩阵S和S’仅仅是行的顺序不同，则2个矩阵定义的是同一组工人的技能情况，因此S=S’。接下来的讨论，没有区别同等技术矩阵。

当m=w=3时，有57中不同的技能矩阵。当m=w=4时技能矩阵的数量就增加到2 306。当m=w=5是数量多于270 000。这就有必要从对不同工人训练形式的巨大数量的矩阵中刻画出有效技能矩阵。即描述确定一组属性，能够从大量的技能矩阵中分辨出一个易于管理的有效技能矩阵的子集，从而给出一个工人培训的范围。

2.2 部分资源柔性的度量

这个研究的一个重要的目标是更好地明白随着资源柔性度的增加系统执行的变化情况。这就需要合适的度量资源的柔性的水平，也就是要确定工作站上的柔性资源。定义柔性度量：

显然，φs是区间[max{m，w}/wm， 1]上的值，φs取值越大说明系统的柔性越大。

对于确定的w和m的值，因为技能矩阵的元素只有0和1，所以φs的值是离散的。如果存在一个w×m的可行技能矩阵S满足φs=φ，则值φ∈[0，1]称作现实价值。

φs可以估量柔性的水平，针对每一个φs也能通过人和站的平衡估量柔性的混合情况。对于一个给定的技能矩阵S，定义如下：

如果考虑某站有最大的工人被培训数和某站有最小的工人被培训数，这个度量展现了2个值之间的不同。称βs为站平衡或者S平衡度量，这对于工作站是很重要的。对一个技能矩阵S，若βs≤1，则称S为S平衡。

将一个混合度量定义为站-工人平衡或者SW平衡定义为：

这个度量关注了一个工人在多于一个站上进行训练需有效的在各站之间分配他的总时间。因此调整变量包含在度量公式之中。若一个技能矩阵S的≤1则称之为SW平衡。

3 有效技能矩阵度量

给出一个具体的工人数w和工作站数m，对于任何柔性矩阵的现实价值∈[0，1]， 令 ζφ^={w×m 技能矩阵 S：φs=}，实际上，ζφ^很大。 所以更关注识别技能矩阵 S* 的特征，（S*）=即那些在集合 ζφ^中，使 FSPRF（S）最小的技能矩阵S。

技能矩阵产生的最好的操作性能既是S平衡也是SW平衡，可见是有效技能矩阵的2个重要属性。然而，同时为S平衡和SW平衡的技能矩阵数量也很大。例如：当m=w=3时，57个中有33个是S平衡和SW平衡。当m=w=4时，2 306的技能矩阵中就有578个是S平衡和SW平衡。当m=w=5时，270 000的技能矩阵中就有28 000个是S平衡和SW平衡。因此，S平衡和SW平衡并不能提供足够准确地的方法去识别工人柔性分布有效或者无效。考虑第三类技能矩阵，称之为链，形成一个符合S平衡和SW平衡矩阵的子集。

对任何一个技能矩阵S，对应的有一组对应工人的点VS和另一组对应工作站点的工人-站二部图 G（S）=（VS，ES）。 因此在图中有m+w个点。当且仅当在S中Shj=1时存在一个边（h，j）∈Es。在这种情况下，工人技能分配可以通过与每一个可能的分配有关的边际收益达到一个希望的柔性矩阵的现实价值。

Jordan and Graves（1995）说明了柔性进程，在同一时间生产设备之间分配一组产品，每一个设备生产一个产品的子集。他们观察到当按照设备-生产的二部图中的一个链进行分配的话，在机器生产一组产品中有限的资源柔性能够被有效的分配。基本的思想是在一个链后形成一个连续的路径连接二部图中所有的点，保持路径的连续，建立一个最大路径的环。本文则延续链的观点去调度带有部分资源柔性问题。

接下来讨论都是工人数等于工作站数的流水车间问题，即w=m，则S是一个m×m的技能矩阵。技能矩阵S称为一个k-链，若={h，h+1，…，h=-1}，1≤k≤m，所有的 h∈W，如果j∈并且 j>m，则 j就替代为站 j=j′（mod m）满足 j=j′（mod m）。任何技能矩阵S都相当于一个k-链，表示为Cm，k。显然supp（Cm，k）⊆supp（S）⊂（Cm，k+1）。 任意一个技能矩阵 S 可被称之一个链，如果存在一些 k∈{1，…，m-1}，满足 supp（Cm，k）⊆supp（S）⊂supp（Cm，k+1）。 因此，无论 S 等于一个 k-链 Cm，k或者等于一些 k-链 Cm，k和一些非空的子集 H⊂W，Shj=1，（h，j）∈supp（Cm，k+1）/supp（Cm，k），h∈H 都可以定义一个链。值得注意的是，Cm，k在文献中作为一个循环行列式被涉及到。 （see， e.g.，Balas 1975）。 定义一个 Δm，k=（δ） 的矩 阵 Δm，k=（）=h∈W，j∈M，Cm，k+1=Cm，k+Δm，k，k=1，…，m-1。

例 2：m=5，

图1 2-链二部图Fig.1 Bipartite graph of 2-chains

图2 3-链二部图Fig.2 Bipartite graph of 3-chains

如图 1 和 2 所示，二部图对应的是 2-链 C5，2和 3-链 C5，3。很明显，在 2-链，m=w=5，工人1在站1、2被训练，工人 2在站2、3被训练，等等，工人5在站5和站1。同时，也能通过看图得出C5，2，2-链形成了一个连接所有工人和工作站的路径。另外，每一个工人被分配到相同数目的连续工作站，而每一个工作站上拥有相同数量的工人。

Jordan and Graves（1995）在生产和设备的分配环境下这些属性反映这些规定。明显，3-链的图中观察得出C5，3也反应了这些属性。工人的技能矩阵定义成链的形式适合流水车间的调度环境，可以在一组工作站上的进程中连续的培训工人。

现在建立一个重要的链的性质，命题2，如果m×m技能矩阵S定义一个链，它的S平衡和SW平衡度量值满足，k*∈{1，2，…，m-1}，≤，k*∈{1，2，…，m-1}是满足 supp（Cm，k）⊆supp（S）的最大值，则S既是S平衡又是SW平衡。

4 结 论

文中通过技能矩阵的形式刻画了流水，车间情况下工人柔性的问题，并对工人的技能矩阵进行了科学的度量，将技能矩阵描述成“链”的形式，通过链的大小衡量工人的柔性程度。链的表现形式不仅能有效衡量技能矩阵的有效性，而且能够指导企业管理者如何根据工人的现状和工作站可能的瓶颈问题，合理的对工人进行培训，并有效的掌握资源的柔性度。针对企业实际在控制人工成本的基础上，实现系统执行的最优性，达到利润最大化。

该项研究有很现实的实际意义，易于操作管理，在以后的研究中可以对工人操作效率不同等情况的矩阵度量方法。这些研究都将为企业更好的实现生产效益最大化做出简易有效的指导。

[1]Alidaee B，Kochenberger G A.A framework for machine scheduling problems with controllable processing times[J].Production Oper.Management，1996，5（4）:391－405.

[2]Daniels R L，Mazzola J B，Shi D.Flow shop scheduling with partial resource flexibility[J].Management science，2004，50（5）:658－669.

[3]Zavadlav E，McClain J O，Thomas L J.Self-buffering，selfbalancing，self-flushing production lines[J].Management Science，1996（42）:1151－1164.

[4]Inmaculada Beltrán-Martín，Vicente Roca-Puig，Ana Escrig-Tena.Human resource flexibility as a mediating variable between high performance work systems and performance[J].Journal of Management，2008，34（5）:1009－1044.

[5]Ketkar S，Sett PK.Environmental dynamism， human resource flexibility，and firm performance:analysis of a multi-level causal model[J].The International Journal of Human Resource Management，2010，21（8）:1173－1206.

[6]Martínez-Sánchez， A.， Vela-Jiménez，， M.J.， Pérez-Pérez，M.The dynamics of labour flexibility:relationships between employment typeand innovativeness[J].Journal of Management Studies，2011，48（4）:715－736.