代沙格定理逆定理的一种证明方法

晋 珺，牛建红

(1.晋中学院 数学学院，山西 榆次 030600；2.晋中学院 数学学院，山西 榆次 030600)

代沙格定理逆定理的一种证明方法

晋 珺1，牛建红2

(1.晋中学院 数学学院，山西 榆次 030600；2.晋中学院 数学学院，山西 榆次 030600)

三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线。文章证明了高等几何中代沙格定理的逆定理，并用其证明了欧拉线，比初等几何证明方法更简便。

欧拉线；代沙格定理；逆定理

代沙格定理是高等几何最重要的定理之一，它与它的逆定理应用非常广泛，特别是在证明点共线、线共点问题上。欧拉在1975年他的著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形的外心，重心，垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线。文章给出了代沙格定理的逆定理的一种证明，并用其证明了欧拉线，比普通的初等几何的证明方法简便得多。

代沙格定理：两个ΔABC和ΔA'B'C'中，若对应顶点的连线 AA'，BB'，CC'共点于点 0，则对应边的交点 L=BC×B'C'，M=CA×C'A'，N=AB×A'B'共线。

证明：见参考文献[1]中第四章第一节，这里不在详述。

代沙格定理的逆定理：两个ΔABC和ΔA'B'C'中，若对应边的交点 L=BC×B'C'，M=CA×C'A'，N=AB×A'B'共线，则对应顶点的连线AA'，BB'，CC'共点。

证明：如图1，设三双对应边的交点共线于I，设直线 AB，A'B'，BC，B'C'，CA，C'A' 分别为 a，a'，b，b'，c，c'，这也表示它们的坐标向量，由于 I过 a，a'的交点，那么I可表示为a，a'的线性组合：

同样有：I=βb+β'b'.I=γc+γ'c'。

比较这三式得：BB'=αa-βb=-(α'a'-β'b')，CC'=βb-γc=-(β'b'-γ'c')，AA'=γc-αa=-(γ'c'-α'a')。

上面第一式 αa-βb=-(α'a'-β'b')，由左端观之，它是过两直线a，b交点B的直线，由右端观之，它是过两直线a'，b'交点B'的直线，所以它代表直线BB'，其余类推。

由于三直线AA'，BB'，CC'坐标向量有明显的线性关系式：

所以三直线 AA'，BB'，CC'共点，证毕。

图1

定理：(用代沙格定理之逆证明欧拉线)ΔABC的外心O，重心D，垂心E三点共线。

证明：如图2，设 F，G分别为 CB，CA边上的中点，连接 OF，FG，GO，AE，EB。

图2

在ΔABE和 ΔFGO中，AB平行 FG，BE平行GO，AE平行OF，即ΔABE和ΔFGO的对应边交点均为无穷远点，从而在一条无穷远直线上，根据代沙格定理的逆定理可知，ΔABE和ΔFGO对应顶点的连线EO，BG，FA应共点，而 BG，FA为中线，相交于D，所以O，D，E共线.

[1]朱德祥.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1987.

[2]吴子汇，徐旭峰.高等几何教程[M]徐州：中国矿业大学出版社，1999.

The Prove of Euler Line in the Higher Geometry

Jin Jun1，Niu Jian-hong2
(1.school of Mathematics Jinzhong College，Yuci Shanxi 030600；2.school of Mathematics Jinzhong College，Yuci Shanxi 030600)

Triangle circumcenter，center of gravity，orthocenter located in the same line，the line we called the Euler line.In This paper，I proved the converse theorem of Desargues in the geometry of higher，and using it proved the Euler line，easier than the methods of elementary geometry.

Euler line；Desargues；converse theorem

O185.1

A

1673-2014(2012)02-0110-02

2012—03—01

晋 珺(1981—)，女，山西洪桐人，硕士，主要从事基础数学(代数学)的研究。牛建红(1982—)，男，山西大同人，硕士，主要从事基础数学(代数学)的研究。

(责任编辑 单麦琴)