郭晓霞,郭培昌
(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)
求解扩展的Sylvester共轭矩阵方程*
郭晓霞,郭培昌
(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)
研究扩展Sylvester共轭矩阵方程及更一般形式复矩阵方程的解,利用复矩阵的实形式方法得到求解方程的迭代算法。数值例子展示了该算法的有效性。
实形式;扩展的Sylvester矩阵方程;解
在稳定性和控制理论中,矩阵X-AXB=C,AXXB=C和AXB+CXD=F有重要的应用[1-2]。借助于复矩阵的实形式,复矩阵方程X-AB=C的求解和解的存在性、连续性得到了好的结果[3]。类似于文献[3]中的复矩阵实形式方法,文献[4]给出了矩阵方程AX-B=C的解的表达式。另外,文献[5-6]给出了求解实矩阵方程AXB=F最小二乘解的有限步迭代算法。最近,文献[7]研究了一类扩展的Sylvester共轭复矩阵方程AXB+CD=F,给出了一个有限步迭代算法求解连续的扩展Sylvester共轭矩阵方程。但是这个算法在迭代过程中涉及复数运算,每一步需要对若干矩阵求共轭。本文将利用复矩阵的实形式,给出复矩阵方程AXB+CD=F的等价实形式,推导这类方程的新求解算法。本文的思路与文献[7]不同,新算法在迭代过程中避免了复数运算。另外,新算法也可以推广到更一般的复矩阵方程上。文中的2个数值例子展示了该算法的有效性。文章中符号tr(A),AT,AH和分别表示矩阵A的迹、转置、共轭转置和共轭。‖A‖表示实矩阵A的Frobenius范数,‖A‖=
其中,A,C∈Rm×r,B,D∈Rs×n,F∈Rm×n是已知矩阵,X∈Rr×s是未知矩阵。文献[7]给出了下面的求解方程(1)的迭代算法:
给定初值x(0),令
k∶=0,计算
k=k+1;重复上述迭代直到R(k)=0或R(k)处于误差允许范围内。
文献[7]证明了下面3个引理,这里转述引理内容,详细证明可以参看文献[7]。
引理1 假定扩展Sylvester共轭矩阵方程(1)连续并设X*是方程的解。那么,对任意的初始矩阵X(0),上述迭代所产生的序列X(i),R(i)和P(i)满足
引理2 给定任意初始矩阵X(0),如果矩阵序列X(i),R(i)和P(i)按上述迭代方法产生,并且存在整数l≥1使得R(i)≠0对i=0,1,…,l成立,则
引理3 如果扩展Sylvester共轭矩阵方程(1)连续,那么对于任意的初始矩阵X(0),按照上面的方法经过有限步迭代可以得到方程的解。
如果初始矩阵A∈Cm×n,那么A可以被唯一地写成A=A1+A2i,A1,A2∈Rm×n,i2=-1,定义复矩阵A的实形式为
令
其中Ij是j×j单位矩阵。文献[3]叙述了复矩阵实形式性质,简单的计算可以验证下述引理成立,这里不再给出其证明。
在将复矩阵方程转换成等价实矩阵方程时,上述引理是有用的。
这部分将利用复矩阵的实形式研究复矩阵方程
定义方程(2)的等价实矩阵方程为
是方程(2)的解。
证 这里只证明必要性。
随着世界工业的飞速发展,物流和供应链的持续改进成为众多企业关注的焦点之一,智能物流是工业4.0的基石,工业4.0不仅仅是生产环节实现智能化,更是生产与物流高度融合,对于物流方的高效、柔性提出了更高要求。SEW作为德国制造的典型代表,秉承“追求卓越,精益求精”的企业精神,除了为用户提供先进的传统传动设备外,近年来在物流行业的创新发展也是大放异彩。
是方程(4)的解,那么(5)给出的矩阵X是(2)的解。事实上,因为,所以(4)式可写成
也是方程(4)的解。将(6)代入(8)并计算整理,容易得到
从等式(9)出发,可以按如下方式构造复矩阵
算法1 (方程(2)的实形式算法)
〈2〉给定初始矩阵Y(0),计算
〈3〉如果R(k)处于误差允许范围内,则终止迭代,否则计算
〈4〉k=k+1;转〈3〉
〈5〉输出
考虑下面更一般形式的复矩阵方程
这里
…,q和F∈Cm×n是已知矩阵,X∈Cr×s是未知矩阵。给出这个复矩阵方程相应的实形式
当矩阵方程(10)连续时,通过推广求解矩阵方程(2)的算法1,不难得到有限步迭代求解(10)的算法。参照定理1,容易证明下面的结论。
是方程(10)的解。
这一部分选取文献[7]中数值例子进行实验,并比较本文新算法与文献[7]中算法的数值结果。
例1 考虑方程(10)形式的Sylvester共轭复矩阵方程,
该方程的解是
取X(0)=10-6ones(2),应用文献[7]中的算法得到X(k),然后取初值Y(0)=10-6ones(4),应用本文新算法求解方程。其中ones(2)表示元素全为1的2阶矩阵,ones(4)表示元素全为1的4阶矩阵。表1展示了2种迭代的结果。
表1 2种算法的迭代结果Table 1 Iterative results for two algorithms
例2 考虑下述复矩阵方程
其中
这个方程的解是
表2 2种算法的比较Table 2 Comparison of two algorithms
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On Solutions of the Extended Sylvester-Conjugate Matrix Equations
GUO Xiao-Xia,GUO Pei-Chang
(School of Mathematical of Science,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)
The solutions of an extended Sylvester-conjugate matrix equation and a more general complex matrix equation are investigated.An iterative algorithm based on the real representation of a complex matrix is proposed.Two numerical examples are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm.
real representation;extended Sylvester-conjugate matrix equations;solution
O241.6
A
1672-5174(2012)05-125-04
教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NCET-08-0500);山东省青年科学家奖励基金项目(BS2010SF03)资助
2011-03-13;
2011-11-28
郭晓霞(1971-),女,教授。E-mail:guoxiaoxia@ouc.edu.cn
AMS Subject Classification:15A24
责任编辑 朱宝象