车－桥竖向随机振动响应的概率分析*

王富伟，娄 平，李宇翔

(1．中南大学土木工程学院，湖南 长沙410075;2．重载铁路工程结构教育部重点实验室，湖南长沙410075)

由于列车－桥梁时变系统随机振动理论尚未严格建立［1］，很多学者在这方面进行了研究，并且发表了很多有价值的成果。夏禾等［2］通过建立随机激励下的车桥耦合系统空间模型，计算了桥梁的动力响应;张志超等［3］研究了车桥耦合系统受轨道高低不平顺激励而产生的垂向非平稳随机振动;李小珍等［4－5］虚拟激励法对简支梁进行了随机振动分析，并讨论了速度对动力响应的影响规律。

随着列车速度的不断提高，车－桥系统动力作用加剧，其动力响应成为广泛关注的课题之一。由于轨道不平顺具有随机特性，因此，很有必要进一步开展车－桥系统动力响应的概率分析，研究成果作为车－桥系统可靠度研究的基础。本文将列车－桥梁视为一个系统，利用弹性系统的动力学总势能不变值原理和形成矩阵的“对号入座”法则［6－8］，建立系统的振动方程。考虑轨道的随机不平顺，对几种车速下桥梁的动力响应(桥梁中点位移最大值、桥梁中点加速度最大值)，车体加速度最大值以及轮轨力最大值等随机变量的概率特征进行探讨。娄平等［9］研究了轨道动力响应的概率特征，为本文工作的开展奠定了基础。

1 车辆－桥梁动力学耦合模型及振动方程

1．1 车辆多刚体模型

将车辆视为多刚体振动系统，不考虑车体、转向架构架、轮对等部件本身的弹性变形，各刚体通过弹簧和减振器相互连接，形成一个多自由度质量－弹簧－阻尼系统(图1)，车辆参数如表1所示。

图1 车辆－桥梁系统模型Fig．1 Vehicle －bridge system model

表1 车辆参数Table 1 Vehicle parameter［10］

车辆共有10个自由度，其中车体2个，即车体重心处的竖向位移yc和转角位移θc;转向架4个，即前后转向架重心处竖向位移yt1和yt2，转角位移θt1和θt2;车轮4个，即4个车轮的竖向位移 yw1，yw2，yw3和yw4。假定车轮和钢轨总是密贴的，则车轮的自由度非独立，故车辆只有6个自由度。假定所有竖向位移以向下为正，转角位移以顺时针方向为正，并且车辆所有的位移均从各自的静力平衡位置开始测量(车辆为进入桥梁)，车辆在t时刻的运行速度为v(t)，加速度为a(t)。

1．2 车桥耦合关系

假定t时刻车辆4个轮对都运行在桥梁上，4个车辆与钢轨接触点从左至右分别位于第i1，i2，i3和i4这4个梁单元之中，4个接触点的位置分别距各自梁单元左节点的距离为xi1，xi2，xi3和xi4。假定轮对总是与梁接触，在t时刻，车辆轮对与梁之间4个接触点处的约束方程如下:

上述4式分别为第h(h=1－4)个轮对的竖向位移、竖向速度和竖向加速度;［N］为梁单元的形函数;分别表示第ih(h=1－4)个梁单元的节点位移矢量、节点速度矢量和节点加速度矢量;v和a分别表示车辆运行的速度和加速度;N和r的右角上标表示对局部坐标x的导数。

表2 简支梁参数Table 2 Parameter of simply supported beam

1．3 竖向振动方程的建立和求解

考虑轮轨之间的约束关系［11］，利用弹性系统动力学总势能不变值原理对4轴车辆－桥梁系统的总势能进行变分并应用“对号入座”法则，得到4轴车辆－桥梁系统的有限元形式振动方程，表达式如下:

文中采用θ=1．4的Wilsonθ法编制相应程序求解振动方程组(2)。

2 输入激励的数值模拟

在本文研究中，轨道不平顺随机过程的数值模拟是一个至关重要的问题。轨道谱在国外铁路已得到广泛的应用，许多国家的铁路研究机构都将轨道谱作为机车车辆、桥梁、轨道系统动力学仿真和振动试验的输入函数。国外常见的轨道谱主要为美国分级轨道谱、德国高速轨道谱和我国的干线谱。鉴于我国尚未有统一的高速铁路轨道谱，文中采用德国高速轨道谱作为轮对和桥梁系统的输入激励。

常用的轨道不平顺数值模拟方法主要有二次滤波法、三角级数法和白噪声波法等。笔者采用MATLAB编写计算程序，利用三角级数法模拟了德国高速铁路高干扰轨道谱。德国高速谱高低不平顺功率谱密度表达式为:

式中:Sv(w)为轨道不平顺功率谱密度，cm2·m/rad;w为空间频率，rad/m;wc，wr和 ws为截断频率，其值分别为 0．824 6，0．020 6 和 0．438 0 rad/m;Av为粗糙度系数，其值为6．125 ×10－7m·rad。

不平顺取空间波长为1～50 m，对应的截止频率为下限wl和上限wu分别为0．04π rad/m 和2π rad/m，将桥梁随机不平顺截止频率wl和wu之间等分为500份。图3给出了高低不平顺的1个模拟样本。

图3 轨道高低不平顺样本Fig．3 Track irregularity sample

3 车－桥系统动力响应的概率分析

对上述方法建立的车－桥振动方程，输入桥梁随机不平顺，计算车辆在简支桥梁上分别以100～400 km/h、速度间隔为50 km/h的7种速度通过桥梁的动力响应，有关车辆和桥梁的参数见表1和表2。文中以系统动力响应的最大值为随机变量，每种速度均重复运行50次，则每个随机变量均可得到50个样本观测值(在同一速度下)，对每个样本进行数理统计分析，以获得每个随机变量的均值、标准差和概率分布。为了对样本的概率分布做出比较准确的判断，文中使用分参数检验方法中的K－S检验并借助SPSS统计［12］软件进行分析。

SPSS实现K－S检验的过程是:根据样本数据和用户的指定构造出理论分布，查分布表得到相应的理论累计概率分布函数F(x);利用样本数据计算每个样本数据点的累计概率，得到经验累计概率分布函数S(x);计算F(x)和S(x)在相应变量值点x上的差值D(x)，得到差值序列进行研究。SPSS在统计计算中将计算K－S的z统计量，并依据K－S分布表或正态分布表给出对应的相伴概率值。若相伴概率小于或等于用户的显著性水平α，则应拒绝零假设H0，认为样本来自的总体与指定的分布有显著性差异;若相伴概率值大于显著水平，则不能拒绝假设H0，认为样本来自的总体与指定的分布无显著性差异。

3．1 车桥动力响应最大值随机变量的概率特征

依据上述原理，借用SPSS软件进行计算，得到了100 km/h速度下的车桥作用力最大值、桥梁位移最大值、桥梁加速度最大值以及车体加速度最大值等随机变量的K－S检验的分析结果，如表3和表4所示。

从表3和表4可知:随机变量桥梁中心的竖向位移最大值样本数据的均值为5．69×10－3m，标准差为1．00×10－4m，Z 统计量为 0．542，相伴概率值为 0．931，显然 0．931 ＞0．050，故不能拒绝零假设，也就是说桥梁中点位移最大值服从上述均值和标准差的正态分布，同理，从表中可知随机变量轮对与桥梁的作用力最大值、桥梁中心加速度最大值、车体加速度最大值等的相伴概率值均大于0.05，所以，均可以得出其服从正态分布的结论。

在其余6种运行速度下，按照同样的方法进行分析，分别得到上述车桥动力响应最大值随机变量服从相应正态分布的结论。

表3 样本特征(100 km/h)Table 3 Sample characteristics(100 km/h)

表4 K－S检验分析结果(100 km/h)Table 4 K－S Test results of the analysis(100 km/h)

3．2 速度对车－桥动力响应最大值随机变量的影响规律

图4～7所示分别为均值轮对与桥梁作用力最大值、桥梁位移最大值、桥梁加速度最大值以及车体加速度最大值随机变量与速度的关系曲线。

由图4可知:速度越大，轮对与桥梁的作用力最大值也越大，并且4组轮对与桥梁的作用力最大值相近。

由图5和图6可知:桥梁的位移最大值以及加速度最大值并不与车速成正比关系，估计这与桥梁自振频率有关;当车辆通过时产生的振动频率与桥梁的自振频率接近时，则产生较大的振动响应。

图4 轮对与桥梁耦合力最大值的均值与速度的关系Fig．4 Relationship between the mean of maximum wheelbridge force and the speed

图5 桥梁中点位移最大值的均值与速度的关系Fig．5 Relationship between the mean of maximum bridge midpoint displacement and the speed

由图7可知:车体加速度最大值与车速成正比关系，并且增量比较明显。

图6 桥梁中点加速度最大值的均值与速度的关系Fig．6 Relationship between the mean of maximum bridge midpoint acceleration and the speed

图7 车体加速度最大值的均值与速度的关系Fig．7 Relationship between the mean of maximum car acceleration and the speed

4 结论

(1)车辆通过桥梁时所产生的动力响应中，轮对与桥梁的作用力最大值、桥梁位移最大值、桥梁加速度最大值以及车体加速度最大值等随机变量均服从正态分布。

(2)随着车辆速度的增加，轮对与桥梁作用力最大值和车体加速度最大值的均值均增加，且车体加速度最大值增加较快;而桥梁的位移、加速度最大值的均值并不与之成正比变化。

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