0.999……等于1吗

　　0.999……=1，是数学中一个典型问题，本文介绍了如何避开高等数学的极限、级数观点，给一位刚接触循环小数的小学生讲解这一结果。
　　上小学五年级的儿子突然问起一个问题：妈妈，0.999…等于1吗？学过极限、级数的我回答道：当然相等啦。儿子满脸疑惑地说：那不是还差0.000…1吗？我只能简单地说：不能用“有限”观点看待“无限”的问题。这么一个抽象、笼统的答案，小学生是无法理解的。“那么，0.333…+0.666…=1这也对啦？”这倒是给了我一个启发：1÷3=0.333…=1/3，2÷3=0.666…=2/3，0.999……=0.333…+0.666…=1/3+2/3=1。儿子的回答却是：“这么看好像对，可0.999…=1还是觉得不对。”就在我觉得解答还算成功时，问题又来了。“你看比较大小时，是先比首位，0.999…的首位是0比1小，所以还是0.999…小于1。”从教近20年的数学老师，不能给上小学五年级的儿子一个满意的答复，看来我必须认真备一节小学数学课。
　　我们知道，有理数集包括有限小数和无限循环小数，而分数是有理数的另一种表现形式。即分数都能化成有限小数或无限循环小数；反过来，任何一个有限小数也能化成分数，当然任何一个无限循环小数，也一定会转化成一个分数。如何把一个无限循环小数化成分数呢？根据无限循环小数分为纯循环小数和混循环小数，可分为：纯循环小数化成分数、混循环小数化成分数。
　　类型一：纯循环小数化成分数
　　例1：把0.3和0.23化成分数。解1：0.333…×10=3.33…，0.333…×10-0.333…=3.333…-0.333…=3，（10-1）×0.333…=3，9×0.333…=3，0.3=3/9=1/3. 解2：0.23=23/99（过程略）。由此可见， 纯循环小数化成分数，它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数，分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。当然，0.9=9/9=1.
　　类型二：混循环小数化成分数
　　例2：把0.35、0.4734、0.12435化成分数。解1：0.3555…×10=3.555…，0.3555…×100=35.55，0.3555…×100-0.3555…×10=35.55…-3.555…=35-3=32，（100-10）×0.3555…=32，90×0.3555…=32，0.35=32/90=16/45. 解2：0.4734=4687/9900（过程略）。解3：0.12435=4141/33300（过程略）。由此可见，混循环小数，它的小数部分可以写成这样的分数：这个分数的分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。
　　当然，儿子提出的“0.999……等于1吗”得到了圆满的答复。至于他提出的比较大小问题，我的答案是：数学中的很多形式是可以变形的，不能简单地只看外在形式，要看到它的本质。例如：4/2，它只是分数形式，并不是分数。儿子开心地说：原来循环小数可以变形啊，我会破解数学里的小魔术了。
　　（延边大学师范分院）