信息转化

　　数学无处不化归。解决数学问题的过程，其实就是不断完成信息转化（化归）的过程，是逐步地化繁为简、化生为熟、化难为易的过程。对此，前苏联数学家C•A•雅诺夫斯卡娅曾一语道破其实质：“解题最终就是归结为已经解决过的问题。”
　　一、信息转化的方向与原则
　　转信息化就是运用运动、变化、联系、发展等辩证的观点去认识和分析问题，是理性的带有明确指向性的推理演化过程，通常把握好方向与原则：
　　熟悉化原则：从生到熟；从暗到明；从未知到已知。
　　简单化原则：从难到易、从繁到简。
　　和谐化原则：从不匀称到匀称；从不统一到统一，从不协调到协调。
　　具体化原则：从抽象到形象、直观、具体；从一般到特殊；从综合（非基本）问题到基本问题。
　　逆向化原则：从正到反；从顺到逆；从进到退。
　　数学化原则：从现实情境到数学情境；从非数学符号化到数学符号化。
　　二、信息转化的方式与方法
　　1.从现实到数学的信息转化
　　从现实到数学的信息转化其实就是通过对问题的分析，抽象建立数学模型，把现实生活中的问题情境转化成“纯粹”的数学化的问题情境，体现“问题情景——建立模型——解释、应用、拓展与反思”的数学学习模式。
　　例1．（2011，河北中考）已知A、B两地的路程为240千米。某经销商每天都要用汽车或火车将x（吨）的保鲜品一次性由A地运往B地。受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种运输工具进行运输，且须提前预订。现有货运收费项目及收费标准表（如表1）、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图像（如图1-1）、上周货运量折线统计图（如图1-2）等信息如下：
　　（1）汽车的速度为________千米/时，火车的速度为 _________千米/时；
　　（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽、y火与x的函数关系式（不必写出x的取值范围；总费用=运输费＋冷藏费＋其他费用），并指出x为何值时，y汽＞y火；
　　（3）从平均数、折线图走势两个角度分析，该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省?
　　分析：本例是一例典型的数学建模应用的问题（详解不赘），题目整合了方案设计与统计决策问题，在呈现方式上做出了创新，试题贴近当前社会经济热点，能让学生真切地感受到“数学来源于生活，又返回来指导生活”的价值。题目信息在表格、图像间交叉呈现，便于考查学生从图表中获取信息、建立数学模型并应用它解决（解释）现实问题的能力，深入贯彻了课标所提倡的数学学习模式。事实上，解决此类问题多以“函数、方程（组）和不等式（组）”作为工具。由于题目中含有从“不确定中找确定”的因素，所以关联了函数、方程与不等式等数学模型的建立与应用。
　　一般地，刻画变量之间关系的问题都可以转化为函数问题，确定一个量的值的问题都可以转化为方程问题，而要确定一个量的范围的问题，往往要转化为不等式的问题。
　　例2.（2008，太原中考）在某次人才交流会上，应聘人数和招聘人数分别居前5位的行业列表如下：
　　如果用同一行业应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，那么根据表中数据，对上述行业的就业情况判断正确的是（ ）。
　　A．计算机行业好于其他行业
　　B．贸易行业好于化工行业
　　C．机械行业好于营销行业
　　D．建筑行业好于物流行业
　　分析：能否领悟就业情况的决定性因素，从图表中迅速抓取有用信息，建立数学模型，并借之作出判断，显然体现了数学智慧。由表格信息可知，物流和贸易行业的招聘人数均少于725人，而建筑和化工行业应聘人数均少于659人。“用同一行业应聘人数与招聘人数比值（设用P表示）的大小来衡量该行业的就业情况”这句话的含义就是多少个人去应聘一个岗位，故比值P越小，就业形势越好。P计算机=＞1，P机械=＞1，P营销=＞1，P物流>＞1；P贸易＞（可能大于1、等于1或小9GCtBsbDffwtjSZfZDw7MJ4Uq1HkqGp0ZZVCCzXdjpo=于1）；P建筑＜＜1；P化工＜<1.比较可知，A、B、C一定是错的，D正确。
　　例3.（2003年，淄博中考）如图2-1是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A、B、C、D各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2-2的变化反映出来。
　　（1）活动床头的固定折叠是根据_______而设计的；
　　（2）如果已知四边形ABCD中，AB=6cm，CD=15cm，那么BC、AD取多长时，才能实现上述的折叠变化？
　　分析：显然，活动床头的固定与折叠是根据“三角形的稳定性和四边形的不稳定性”来设计的。而能够实现上述的折叠变化的前提是相关数据间所具有的内在联系，这个联系要通过“线段重合”和“直角三角形三边之间的关系（即勾股定理）”这两个数学模型的特征来揭示：设BC=x，AD=y，在RtΔACD中，有AC2+CD2=AD2，即（6+x）2+152=y2（I）；在线段BD上，有:CD+CB=AB+AD，即15+x=6+y（II）；由（I）、（II）得：36+12x+x2+225=81+18x+x2，解得:x=30，y=39，故BC、AD的长分别为30cm、39cm时，钢丝床方可折叠。
　　点评：《数学课程标准》强调数学背景的现实性。以“现实的、有意义的、富有挑战性的”内容为背景命题，让学生从具体的问题情境中抽象出数学模型，经历“问题情境——建立模型——解释、应用、拓展与反思”的基本过程。近几年中考命题在此方面颇费匠心，试题取材于学生身边的生活，新颖有趣，值得玩味。
　　课标强调“数学地思考”，即面对一个问题时，能主动尝试着从不同的角度，开动大脑机器，寻求解决问题的突破口。从现实到数学的建模问题很好地体现了这一点。学生们只有经过一番细致分析和丰富联想后，产生了“顿悟”，方法（数学模型）才能浮出水面。
　　2.从数学到数学的信息转化
　　从生活到数学是一个水平（横向）数学化的过程，而从数学到数学则是一个纵向数学化的过程。
　　（1）变更问题表述方式
　　同样的数学问题背景，采用不同的表述方式，对解题者，难度是有区别的。了解了这一点，就可以在解题时，不断转化问题信息的给予方式（包括已知信息和待知信息），从而降低问题难度。
　　例4.（2011，扬州中考）如图3-1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）。现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图3-2所示。根据图像提供的信息，解答下列问题：
　　①图3-2中折线表示_______槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点的纵坐标表示的实际意义是__________________；
　　②注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
　　③若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
　　④若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）。（直接写出结果）
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　分析：我们知道：①“匀速变化”在坐标系中表现为一条“直线”（反之亦然）；②“速度大小”在坐标系中表现为图像改善的“陡峭程度”：图像改善越陡峭，则对应时段的速度越大；图像改善越平缓，则对应时段的速度越小。在此基础上，观察乙槽的特征可知，水面上升速度应是先快后慢，但每一段上是匀速上升的，图像改善的“转折点”即对应容器的“水面刚好没过铁块”这个时刻。由此，确定了图像改善与器具的对应关系，再把图像改善中的信息翻译成文字信息（或其他数学符号形式等学生可以“内部”处理的信息），题目就变得较为容易了。
　　
　　点评：函数图像改善以其形象、直观的特征囊括了众多隐含与显在的信息。解决问题的过程就是释放图像改善内涵的过程。只有准确、全面、有针对性地识读图像改善，从中捕捉“数据”信息与“数量关系”信息，将这些信息还原到问题情境之中，或对这些信息进行有效梳理、综合运用，才能转化问题，顺利获解。完成“图形”与“图像”的“数据互补与互释”。这对学生的能力是一个巨大的挑战。其实，所有复杂数学问题的解决都有这样一个“转化信息表述方式”，使之更适合自己思考与应用的过程。
　　（2）降低问题抽象程度
　　在解决数学问题时，如果能实现数学语言之间的等价转换，就可以降低问题的抽象程度，化生为熟，使问题的解决途径多元化。
　　例5.（2011，四川绵阳中考）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a　　A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b
　　C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2
　　分析：问题很抽象，无从下手。但从待定结论上看，无论选择哪一个答案，都意味着x1，x2，a，b的大小排列有一个固定顺序。由此可令a=-1，b=1，则原方程变为（x+1）（x-1）=1，即x2=2，解之，得：x1=-，x2=.故有x1＜a＜b＜x2，选C。
　　例6.（2011，呼和浩特中考）若x2-3x+1=0，则的值为 __________。
　　分析：显然，通过求解一元二次方程得出x值，再代入式中求值是不可取的。观察题设和待求式的联系，可得如下方法：方法①：结合待求式中存在众多的“x2”，可调整x2-3x+1=0，得x2=3x-1，则==。方法②：欲求S=的值，可转为求==x2+1+的值；把方程x2-3x+1=0两边都除以x，得x-3+=0，x+=3，（x+）2=9，即x2+=7，于是有=7+1=8，S==。
　　点评：例5的处理策略把一个相当抽象的问题转化成一个非常具体的问题，大大降低了思考难度；例6中，法①运用“逐步降次法”，法②运用“取倒数法”，看似玄妙，其实并非无中生有，都是建立在对已知条件和待求式充分观察、比较的基础上，巧妙降低了问题的抽象程度。
　　（3）调整问题解决策略
　　调整问题解决策略往往遵循“问题→新问题→解决新问题→解决原问题”的路子走，是一个逐步缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，目的在于通过采用某种手段转化信息，使之容易展开联想，方便思考与解决。
　　例7．（2011，四川泸州中考）如图4-1，点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点。
　　求∠BPC的度数；
　　求证：PA=PB+PC；
　　设PA，BC交于点M，若AB=４，PC=２，求CM的长度。
　　分析：这是一例延用多年的经典问题，此处仅关注第（2）问。
　　一方面，欲证PA=PB+PC，可先把PB（或PC）“补”上一段PC长（或PB长）的线段，然后推证补充后的线段长等于PA长即可。
　　方法①：延长线段BP到点D，使PD=PC，连结CD（如图4-1，详解不赘）；
　　方法②：延长线段PB到点D，使BD=PC，连结AD（图形、详解不赘）；
　　方法③：延长线段CP到点D，使PD=PB，连结BD（图形、详解不赘）；
　　方法④：延长线段PC到点D，使CD=PB，连结AD（图形、详解不赘）。
　　上述四法，我们通常称之为“补短法”，四者异曲同工。
　　另一方面，欲证PA=PB+PC，相当于“PC=PA-PB”或“PB=PA-PC”，可考虑先从PA上“锯”下一段PB长（或PC长）的线段，然后推证余下的一段长等于PC长（或PB长）即可。
　　方法⑤：在线段PA上截取PD=PB，连结BD（如图4-2，详解不赘）；
　　方法⑥：在线段PA上截取AD=BP，连结CD（图形、详解不赘）；
　　方法⑦：在线段PA上截取PD=PC，连结CD（图形、详解不赘）；
　　方法⑧：在线段PA上截取AD=PC，连结BD（图形、详解不赘）。
　　上述四法，我们通常称之为“截长法”，四者也是异曲同工。
　　点评：正是由于对结论形式的调整与转化，不同的解题策略才浮出水面，问题得以巧妙破解。
　　匈牙利著名数学家P•罗莎在她的名著《无穷的玩艺》一书中曾对“信息转化”做过生动的描述。她首先问：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”接着罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都不变，只是水壶中已有了足够的水，这时你应该怎样去做？”对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”但罗莎认为这并不是最好的回答，因为“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了。”罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了“信息转化”在数学解题中的重要作用。希望通过本文，读者能领悟到这个真谛。
　　（责任编辑 刘永庆）