数与式难点突破

　　■ 数与式的规律探究
　　数与式的规律探究问题一直是近年中考的热点题型，同时也是中考的难点题型，多数在选择与填空的最后一题出现．解决这类问题的关键在于从特殊到一般的转化，从而发现规律、总结规律.
　　■ （2011福建三明）如图1，直线l上有两个圆点A，B． 我们进行如下操作：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2＋1）个圆点；第2次操作，在A，C和C，B之间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3＋2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点之间再插入一个圆点，这时直线l上有（5＋4）个圆点；…，则进行第n次操作后，这时直线l上有_______个圆点.
　　■
　　■ 借助点进行规律探究. 从特殊到一般进行归纳即可.
　　第1次操作后，直线l上有2+1=21+1个圆点；
　　第2次操作后，直线l上有3+2=4+1=22+1个圆点；
　　第3次操作后，直线l上有5+4=8+1=23+1个圆点；
　　…
　　所以，第n次操作后，直线l上有（2n+1）个圆点.
　　■ 2n+1.
　　■ （2011江苏盐城）将1，■，■，■按图2方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是_______．
　　■
　　■ （5，4）从图2可见为■，下面求（15，7）的值是多少. 首先看（15，7）是整个排列的第几个数，从排列方式看第1排有1个数，第2排有2个数，…，则第m排有m个数，所以前14排一共的数目是1+2+……+14=（1+14）+（2+13）+……+（7+8）=7×15=105，因此（15，7）是第105+7=112个数. 下面看第112个数是哪个数，因为■商28余0，所以（15，7）=■. 所以（5，4）与（15，7）表示的两数之积是■×■=2■.
　　■ 2■.
　　■ （2011福建福州）如图3，将一张正方形纸片对折两次剪开，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…；根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是_______.
　　■
　　■ 从图形及语言叙述可知1+3=4；1+3+3=7；1+3+3+3=10，…，每操作一次就多出3个小正方形，则第n次操作可得小正方形1+3n个，现在设1+3n=2011，解得n=670. 所以，要得到2011个小正方形，需要操作的次数是670．
　　■ 670.
　　■ （2011广东汕头）图4是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.
　　（1）表中第8行的最后一个数是_______，它是自然数_______的平方，第8行共有_______个数.
　　（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_______，最后一个数是_______，第n行共有_______个数.
　　（3）求第n行各数之和．
　　■
　　
　　■ 因式分解
　　变更主元法是一种变换思维，在多项式的因式分解中，有些多项式含有多个字母，若按常规思路确定主元，可能导致问题复杂化，此时，我们可以改变原多项式的顺序，选用某参变量作为主元，亦即把参变量与主变量对换，反客为主，另辟蹊径，这种变换思维可使思路清晰，易于分解.
　　■ 分解因式：x3－ax2－2ax+a2－1.
　　■ 此多项式是关于x的三次多项式，直接分解有一定困难，若改变视角，反客为主，视次数最低的字母a为主元，把x的三次式变成关于a的二次式，问题就简单多了.
　　■ 原式= a2-（x2+2x）a+x3-1=a2-（x2+2x）a+［（x3-x2）+（x2-1）］
　　= a2-（x2+2x）a+x2（x-1）+（x-1）·（x+1）
　　= a2-［（x-1）+（x2+x+1）］a+（x-1）·（x2+x+1）
　　=［a-（x-1）］×［a-（x2+x+1）］
　　=（x-a-1）（x2+x-a+1）.
　　■ 分解因式：（a+b）c3－（a2+ab+b2）c2+a2b2.
　　■ 这是一个三元四次齐次六项式，多项式中含有三个字母a，b，c，且次数较高，项数较多，无法直接分解. 若反客为主，视次数较低的字母a（或b）为主元，原多项式就可看成关于a（或b）的二次三项式，即可迅速获解.
　　■ 原式=（a2-c2）b2+（c3-ac2）·b+（ac3-a2c2）
　　=（a+c）（a-c）b2－c2（a-c）b－ac2（a-c）
　　=（a-c）［（a+c）b2-bc2-ac2］
　　=（a-c）［a（b2-c2）+bc（b-c）］
　　=（a-c）（b-c）（ab+ac+bc）.
　　■ （2011广东汕头）分解因式：a4－4a3+（4－2b）a2+4ba+b2－9.
　　
　　■ 二次根式的化简与运算
　　把根号外的因式（或数）移入根号内，要注意两点：一是保证整个式子的值不变；二是移入根号内的因式（或数）应是正的，如果根号外的因式（或数）是负的，必须把“-”留在根号外.
　　■·■等于■，而■不一定等于■·■，只有当a≥0，b≥0时，■=■·■；■2等于a，而a不一定等于■，只有当a≥0时，a=■；■等于■，■不一定等于■，只有当a≥0，b>0时，■=■．
　　■ （2010浙江嘉兴）设a>0，b>0，则下列运算中错误的是（ ）
　　A. ■=■·■
　　B. ■=■+■
　　C. ■2=a
　　D. ■=■
　　■ 对于选项A，C，D，因为a>0，b>0，所以A，C，D运算都正确；对于