洞悉以二次函数为主的压轴题

　　二次函数的实际应用
　　考查方向：利用函数解决问题具有一定的规律性，从近几年中考试题分析可以看出，函数的应用已成为中考热点之一. 主要考查：（1）用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；（2）用二次函数解决实际问题中最优化问题，其实质就是求函数的最大值或最小值.
　　■ （2011湖南岳阳）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程.
　　（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为10 m，隧道顶部最高处距地面6.25 m，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．
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　　（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5 m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3 m，最高3.5 m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？
　　（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
　　①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．
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　　②如图3，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则在直线OM上是否存在点P，使以P，N，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
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　　■ 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把（0，0），（5，6.25），（10，0）分别代入y=ax2+bx+c后可解得a＝-0.25，b＝2.5，c＝0. 所以所求抛物线的解析式为y=－0.25x2+2.5x（0　　（2）由题意，把x=5-3=2代入y=
　　－0.25x2+2.5x，得y=4，而3.5+0.5＝4，所以恰好能让最宽3 m，最高3.5 m的两辆厢式货车居中并列行驶.
　　（3）①设c（x，y），则AB=2x-10，BC=y=-■x2+■x，L=2（AB+BC）=-■·（x-9）2+■，故当x=9时，L取得最大值■.■
　　②存在. 因为N（5，5），设P（t，t），Q（t，－0.25t2+2.5t），若∠QNP=90°，则有■=5，解得t1=4，t2=10. 所以P（4，4）或P（10，10）. 若∠PQN=90°，则把y=5代入y=－0.25x2+2.5x，得x＝5±■，此时，P（5+■，5+■）或（5－■，5－■）.
　　综上所述，满足条件的点P为（4，4），（10，10），（5+■，5+■）或（5－■，5－■）.
　　■ 在求最大值或最小值问题时，通常可以考虑将问题转化为二次函数顶点问题解决；是否存在等腰直角三角形问题则通常需要讨论各个角为直角情况，利用等腰直角三角形的判定解决.
　　
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　　二次函数在几何中的应用
　　考查方向：二次函数通常与全等、相似相结合，确定全等或相似的条件等；也与几何图形相结合，求点的坐标或线段的长度，或确定线段长度的最大值与最小值，或求某图形的周长、面积的最大值与最小值等. 解决这类问题时，要注意充分利用题中的条件和二次函数的知识与几何知识进行综合分析，只要准确结合并利用相关知识，这类问题都可以顺利解决.
　　■ （2011湖北恩施）如图4，在平面直角坐标系中，直线AC：y=■x+8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c过点A，C，且与x轴的另一交点为B（