试析递推数列的通项公式

　　摘要：数列是高中数学的重要内容，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体，而求递推数列通项公式是数列知识的一个难点，递推数列的题型多样，求其通项公式的方法也非常灵活。笔者研究了近两年的各省市高考题，下面对递推数列求通项公式的类型作一个简要的分析。
　　关键词：递推数列；通项公式；分析
　　
　　递推关系为 形如an+1=pan+q （p≠1 且q为不等于0的常数）的数列，可令an+1+x=p(an+x)，即an+1=pan+(p-1)x 与an+1=pan+q 比较得 x=，从而构造一个以a1+ 为首项，以 p为公比的等比数列an+。 A
　　例1（2010全国卷1理数）已知数列an中，a1=1，an+1=c-。
　　（1）设c=，bn=，求数列bn 的通项公式。
　　（2）略。
　　解：（1）由已知有an+1-2=--2=，
　　∴==+2。
　　∵bn=4bn+2，
　　∴bn+1+=4(bn+)，
　　∴bn+是一个首项为-，公比为4的等比数列，
　　∴bn+1+=-·4n-1即bn= -·4n-1-。
　　类型2递推关系为an+1=pan+qn 及an+1=pan+f(n)(q、p为常数，且p≠1，q≠0)。它的解法是恰当地构造辅助数列，转化为可通过累加、累乘等方法求通项的类型。
　　例2（2009江西卷理）各项均为正数的数列an，a1=a，an=b，且对满足m+n=p+q 的正整数m、n、p、q都有=。
　　（1）当a=，b=时，求通项 an。
　　（2）略。
　　解：（1）由 =得=。
　　将a1=，a2=代入化简得an=。易求得1、-1是函数不动点，所以=·，故数列为等比数列，从而=，即an=。
　　可验证，an= 满足题设条件。
　　总之，求递推数列的通项公式，大多情况都是对递推数列进行变形、化简或求不动点，构造成熟悉的等差或等比数列，或变为可通过累加、累乘等方法求通项的类型，从而求出其通项公式。
　　
　　（保靖县雅丽中学）
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”