排列组合问题的解题技巧

　　摘要：排列组合问题题型多样，思路灵活，不易掌握，既有一般的规律，又有较多解题技巧。实践证明，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理， 解决问题的有效方法是总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到灵活运用。
　　关键词：排列；组合；解题；技巧
　　
　　排列组合问题题型多样，解法灵活，解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握解题技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面，我们就介绍几种常用的解题技巧。
　　一、合理分类与准确分步法
　　 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清晰，不重不漏。
　　例1用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给（如图1）a、b、c、d的四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问不同的染色方法有多少种？
　　解析1：整体分类，局部分步。
　　（1）a、d不同色，即用4种颜色给a、b、c、d四个区域染色有A45种方法； （2）a、d同色，即用3种颜色给a、b、c、d四个区域染色有A35种方法。 所以不同的染色方法共有A45+A35=180种。
　　解析2：整体分步，局部分类。
　　按“a→b→c→d”的顺序给四个区域染色，第一步给a区域染色有5种方法，第二步给b区域染色有4种方法，第三步给c区域染色有3种方法，第四步给d区域染色应分两类：①a、d 不同色时，d区域有2种染色方法；②a、d同色时，d区域有1种染色方法。
　　所以不同的染色方法共有5×4×3×（2+1）=180种。
　　二、特殊元素（或位置）“优先安排法”
　　对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排，针对具体问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
　　例2一生产过程有4道工序，每道工序需要安排1人照看。现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙2名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙2名工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）。
　　A．24种B．36种
　　C．48种D．72种
　　解析1：“特殊位置优先”。
　　（1）第一道工序是乙，第四道工序是甲或丙，则不同的安排方案有2A24种；
　　（2）第一道工序是甲，第四道工序是丙，则不同的安排方案有A24种。
　　所以一共有2A24+A24=36种。
　　三、相邻元素“捆绑法”
　　解决某几个元素相邻问题时，先“捆绑”再整体考虑，即将相邻元素视作“一个”元素，再与其他元素一起排列，同时要注意“捆绑”元素内部的排列。
　　例38人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
　　解析：先把这3个人（相邻元素）“捆绑”在一起，看做1个人，有A22种排法，再与其余5个人排成一排，有A66种排法，所以一共有A22A66=1 440种排法。
　　四、不相邻元素“插空法”
　　元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入中间或两端。
　　例4排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，要求小品不能排在第一位，也不能有两个小品排在一起，有多少种排法？
　　解析：先排5个非小品（无要求的元素）的节目，有A55种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有5个空位，将3个小品（要求不相邻的元素）插入这5个空位，有A35种排法，所以一共有A55A35=7 200种排法。
　　五、分排问题“直排法”
　　把元素排成几排的问题，可按一排考虑，再分段处理。
　　例58人排成前后两排，每排4人，甲、乙排在前排，丙排在后排，有多少种排法？
　　解析：前后两排可看成一排，甲、乙排在前排有A24种排法，丙排在后排有A14种排法，其余5人排在剩余位置上有A55种排法，故共有A24A14A55=5 760种排法。
　　六、“小团体”排列，“先团体后整体法”
　　对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素，再与其他元素排列。
　　例6用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在1、5之间，这样的五位数有多少个？
　　解析：先把1、5、2、4当做一个小集团与３排列共有A22种排法，再排小集团内部共有A22A22种排法，由分步计数原理共有A22A22A22=8种排法。
　　七、平均分堆问题用“除法”
　　不同元素平均分成n堆，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分堆后一定要除以Ann(n为均分的堆数)，避免重复计数。
　　例7 现有不同的书A、B、C、D、E、F，（1）平均分给甲、乙、丙3人，有多少种分法？（2）平均