关于高等代数中行列式教学的认识

　　摘 要： 在学时较紧，学生数学基础相对薄弱的情况下，如何有效地对高等代数教学内容进行适度取舍、增删，优化教学过程以提高学生学习兴趣和质量呢？文章以行列式一章的教学为例展开讨论，给出了一套行之有效的改进方案。
　　关键词： 高等代数 行列式 教学
　　
　　在普通高师数学专业的基础课中，高等代数是中学代数的继续和提高。但大一学生在学习中都普遍反映高等代数“难学”、“听课容易解题难”。分析问题的成因，客观上是中学代数主要以形象、通俗的语言方式进行概念的表述，并且学生也有较多的感性认识作基础，而高等代数教学内容的抽象化、形式化程度较高，对学生思维水平要求也更高。从主观上来讲，学生长期在中学形成的思维方式及学习习惯与新的学习内容不相适应，已有的知识结构、思维方式不易得以正向迁移。因而学生对学好高等代数的信心不足，学习质量不高，甚至对后续课程的学习也会造成一定的负面影响。
　　为改善这种状况，提高学生学习高等代数的兴趣和质量，我们有必要在教学内容和教学方法上进行改革。由于普通高师的教育目标主要是培养中学数学教师，因此课程内容在坚持够用、实用与可接受原则基础上进行适度取舍、增删；优化教学过程，沿着激疑、设疑和释疑这一线索开展课堂探索；在教学中要返璞归真，从源头讲起，讲清问题的来龙去脉，将丰富的数学思想过程暴露出来，再讲推理，最后抽象化和形式化。我将以行列式一章的教学为例谈点认识。
　　一、概念的引入
　　行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的，是从大量的具体问题中抽象出来的，体现了数学的由特殊到一般的辩证思想。本章的教学从二、三元线性方程组的公式解入手，激发学生探求元线性方程组的公式解的好奇心。
　　首先，用中学数学中常用的消元法求解二元线性方程组为例引进二阶行列式的定义， 并明确地告诉学生：行列式只不过是一个为简化书写而用的符号，并引导学生探求三元线性方程组的公式解，给出三阶行列式的定义。其次，组织课堂讨论，分析出二、三阶行列式的特点，以三阶为例：①三阶共6项，即3！项，其中都是一半带正号，一半带负号；②每项都是位于不同行不同列的3个元素之积；③每项的行下标依123自然排列，列下标恰是1~3的全排列。提出问题：哪些项带正号？哪些带负号？与列下标的排列是否有关？由此引出排列的反序数与奇偶排列的概念及相关结论。
　　利用排列的奇偶性回头分析二、三阶行列式的各项符号与列下标排列的奇偶性之间的关系，并由它们的结构规律来定义n阶行列式。
　　利用行列式定义计算几个特殊行列式，既巩固对定义的理解与掌握，又为学习行列式计算技巧打好基础：①对角形行列式；②上（下）三角形行列式。
　　二、行列式的性质研究
　　行列式作为一种数学工具，具有哪些“性能”、特点？引导学生一起探索行列式的基本性质：①转置运算；②换法运算；③倍法运算；④和分解法运算；⑤消法运算。
　　由于教材中要运用引理3.3.1［１］去证明转置运算和换法运算，而引理3.3.1［１］的证明对多数学生而言显得较为抽象，讲解下来花较多时间影响进度，且效果也往往不太理想，所以，我们放弃了引理3.3.1［１］（让学生作为课后自习材料），而是运用以上两个定义与换元法给出了转置运算和换法运算性质的证明。以转置运算性质的证明为例：
　　三、补充行列式的一个重要性质
　　在行列式的计算中，三角形法是最基本的方法，学生善不善于将一个行列式化为三角形，不仅影响本章书的学习，而且影响到后面矩阵，以及利用矩阵讨论方程组这些理论的学习。因此，我们补充了如下性质。
　　性质：行（列）的消法运算可化行列式为三角形行列式。
　　性质的证明过程实际上也给出了化行列式（包括矩阵）为三角形的一种最基本的方法，为后面的继续学习打点基础，减轻后边相关章节的教学负担。应用上述性质证明：
　　例1 A 0B C=|A||C|.（实际课堂教学中不采用分块写法）
　　例1既巩固了对补充性质的学习，又为论证依行依列展开定理奠定基础。
　　四、依行依列展开定理的证明
　　教材中定理3.4.1［1］的证明篇幅太长，在乘积项的符号的确定上，学生在课堂上须花较多的时间思考与想象，讲解花时过多，但如果应用上述例1则能较轻松解决，学生接受也快，效果较好。
　　五、几种计算技巧的介绍
　　行列式有许多种计算技巧，课堂教学上不可能介绍很多，但有几种却是必须作为教学任务去努力完成的：①化为三角形等熟知型法；②递推法与归纳法；③分离因子法；④降阶法与升阶法。
　　其中，前两种是基本的，后两种则各有其应用与教育意义。分离因子法不仅对简化文字行列式的计算与讨论有实际意义，而且对中学因式分解有应用价值，更能直接运用到后面矩阵特征根的计算上去；另外，学生学习了依行依列展开定理之后，常常是看到一个行列式动不动就降阶展开计算，通过介绍升阶法让学生接受一次辩证唯物主义教育，同时，也能与线性变换一章中线性变换与矩阵的转换，抽象与具体的辩证转换形成呼应。
　　六、应用与现实背景
　　研究行列式的一点应用，通过学习克拉默法则呼应开始激疑的“元线性方程组是否也如二、三元线性方程组一样有公式解呢？”，克拉默法则的证明可在课时较紧情况下安排学生课外自习，在第五章学习完可逆矩阵后，也可用矩阵方法回头给予证明。另外，课堂上引导学生认识：二阶行列式就是平行四边形的面积，且其值可以通过代表它的一组邻边的向量按乘法法则展开得来；三阶行列式是平行六面体的体积；已知顶点坐标或三边方程，就可以用行列式来表示三角形面积等。
　　高等代数与中学数学不是两个相互断裂的层面。在教学上，要使学生在高等代数的学习中，体会到高等代数之于中学数学的居高临下指导意义。
　　故有a-2b+c=0，从而a，b，c成等差数列．
　　对于中学数学的一些典型问题比如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，如果能构造适当的行列式，也能起到事半功倍的效果。这就要我们在习题课上通过一些例子让学生多了解。
　　在高等代数教学中，我们要重视讲清楚数学事实的“来龙去脉”，要善于把相关问题“返璞归真”，对教材要有“整局观念”，重视“瞻前顾后”。如行列式这章书的教学，我们要讲清楚其来源与应用背景；既瞻前——中学数学，又顾后——矩阵、线性变换等各章的联系，注意利用教学内容对学生进行辩证唯物主义思想教育。整章书的教学循着激疑、设疑和释疑、解疑这一线索开展课堂探索，学生的科学探索的素养也能得到培养。
　　
　　参考文献：
　　［1］张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第五版）［M］.北京:高等教育出版社，2007.
　　［2］王萼芳.高等代数［M］.上海:上海科学技术出版社，1991.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”