浅析数项级数收敛性的教学

　　摘 要： 数项级数是高等数学中重要的一章。但学生不知如何去判断其收敛性。本文作者注意到比式和根式判别法的优点是不依赖于其他级数，而比较判别法需要依赖其他级数，所以在判断过程中优先利用比式和根式判别法。并由此给出了判断正项级数和一般数项级数的过程图。学生凭借过程图可顺利完成级数收敛性的判断。
　　关键词： 数项级数 收敛性 判别法
　　
　　一、数项级数的概念及判别方法解析
　　数项级数是高等数学教学中的重点，也是学生考研的重要的知识点.因此，学好数项级数的收敛性就显得相当迫切.但现实是学生看到级数后不知所措.我主要针对这个现象给出自己的一些教学所得.
　　首先，我们回顾常用的基本概念和重要的判别方法，并解析重要的判别定理.由于结论的普遍性，我们不给出结论的证明.读者可参见文献.
　　定义1.1给定数列u，u，u，…，u，…称表达式u=u+u+u+…+u+…为以u为通项的常数项级数或数项级数；如果u≥0对任意n≥1成立，则我们称级数u为正项级数；类似地，我们称(-1)u和(-1)u为交错级数.
　　由上面的定义可知级数是无穷项的和，而无穷是很抽象的概念.记数列的前n项和S=u，结合极限概念，有：
　　定义1.2（1）我们称级数u收敛，如果S=S（常数）.如果S不存在，则称级数u发散.（2）级数u称为绝对收敛的，如果|u|收敛.级数u称为条件收敛的，如果|u|发散并且u收敛.
　　由定义1.2（1）可知，如果可以求得级数u的前n项和S，再求极限就可得级数的收敛性.但是S并不易求.例如.因此判断数项级数的收敛性必须要用新的方法.
　　注意到级数的一般项u是比较易得的，由此可得：
　　定理1.3若级数u收敛，则u=0.
　　注意定理不是充要条件，即u=0不能得到u收敛.例如.本定理的用途是判断级数发散.例如n.那么，有没有直接判断的方法呢？
　　对于一般的数项级数而言，要判断三种可能的收敛性：1.绝对收敛；2.条件收敛；3.发散.特别地，对正项级数而言，就变成了收敛和发散两种情况.注意到|u|是正项级数，因此判断正项级数的收敛性就非常重要了.下面给出正项级数收敛性判断的充分条件.
　　定理1.4（比较判别法）设u和v为正项级数，并且=l，则：
　　（1）当0＜l＜+∞时，u与v收敛性相同；
　　（2）当l=0时（u≤v），若v收敛，则u收敛；
　　（3）当l=+∞时（u≥v），若v发散，则u发散.
　　记忆定理的第二、三条时，可以分别粗略地认为是u小于v（高阶无穷小）和u大于v（高阶无穷大）.应用定理时须牢记的收敛性.一般选择v=其中p为将u化为的形式中f(n)中n的幂函数部分最高次项（常数）.例如(-)可选v=得级数发散.另外，偶尔也会用到a（a∈R）的收敛性.注意到比较判别法依赖于其他级数，有时v不易找到.例如.自然产生问题：是否存在一种方法不依赖于级数本身之外的其他级数来判断级数的收敛性?
　　定理1.5（比式判别法）设u为正项级数，且=ρ，则：
　　（1）当0≤ρ＜1时，级数u收敛；
　　（2）当ρ=1时，该法失效，请选用其他方法判断；
　　（3）当ρ＞1或ρ=+∞时，级数u发散.
　　定理1.6（根式判别法）设u为正项级数，且=ρ，则：
　　（1）当0≤ρ＜1时，级数u收敛；
　　（2）当ρ=1时，该法失效，请选用其他方法判断；
　　（3）当ρ＞1或ρ=+∞时，级数u发散.
　　定理1.5和1.6克服了比较判别法依赖其他级数的缺点，但它们在ρ=1或不存在（非无穷）时失效.另外，它们对含有n!或n型项的级数具有极大的优越性.例如，由定理1.5可得，=ρ=e＞1级数发散.
　　对非正项级数，我们主要介绍交错级数的莱布尼茨判别法，以及根式比式发散定理.注意到研究|u|的收敛性时会用到定理1.4、1.5或1.6，所以有：
　　命题1.7u为数项级数则：
　　（1）|u|收敛，则u收敛且绝对收敛.
　　（2）若|u|发散（由定理1.5或1.6得出），则u发散.
　　证明：（2）若|u|发散由定理1.5或1.6得出，则|u|≠0，则u≠0，由定理1.3可知u发散.
　　由命题1.7可知，利用定理1.5或1.6可以得到级数的收敛性.若|u|发散是其他定理得出的，该如何？我们应该继续研究级数本身的收敛性，以考查是否条件收敛.虽然我们不能直接判断每个非正项级数的收敛性，但对交错级数，有：
　　定理1.8（莱布尼茨判别法）若交错级数（-1）u满足条件：
　　（1）u≥u，（2）u=0，则级数(-1)u收敛.
　　二、判断级数收敛性过程图
　　结合第一章的分析给出正项级数收敛性判定的过程图，我们总结出数项级数的判断流程.由此学生可以顺利地判断数项级数的收敛性.
　　首先，我们给出下列判断正项级数收敛性的过程：
　　方法2.1对于正项级数u，优先用定理1.5或1.6去判断，若得到级数收敛或发散则下结论.若定理1.5或1.6失效，则可选择定理1.4去判断.其过程图如下：
　　例2.2判断级数的收敛性
　　在方法2.1的基础上，结合命题1.7和定理1.8，我们给出数项级数收敛性的判断过程如下：
　　解：由定理1.5或1.6得到ρ=1，此时失效.由定理1.4取v=（注意不是），则=1.又发散，所以原级数发散.
　　方法2.3对于数项级数u，不妨设u为非正项级数.先用定理1.4、1.5或1.6判断|u|的收敛性.
　　（1）若|u|收敛则由命题1.7（1）判断u绝对收敛；
　　（2）若|u|发散由定理1.5或1.6得出，则由命题1.7（2）判断u发散；
　　（3）若|u|发散由定理1.4得出，则交错级数一般利用定理1.8（非交错级数可用其他方法）直接判断u的收敛性.其过程图如下：
　　以上过程图直观地给出了判断数项级数的收敛性过程.下面给出例子来熟悉一下这个过程.
　　例2.4(-1)的收敛性
　　解：考虑级数。注意到定理1.5或1.6失效.由定理1.4取V=，则发散.由定理1.8可知，（-1）收敛，综上原级数条件收敛.
　　方法2.3是判断数项级数收敛性的普遍过程，但有时不是最简便的.例如非正项级数的通项中含有正、余弦函数时，我们可以直接用定理1.4.
　　例2.5sin的收敛性
　　解：因为sin≤1，所以sin≤.又因为收敛，故收敛sin，综上sin绝对收敛.
　　本文的目的是给展示学生一个程序化的解题过程，所以只给出了所提方法中要用到的定理和概念，敬请读者指正.
　　
　　参考文献：
　　［1］朱杏华，王顺，夏大峰等.高等数学（下）［M］.北京:清华大学出版社，2009:204-224.
　　［2］王顺风，陈晓龙，张建伟.高等数学（下）［M］.北京:高等教育出版社，2009：230-250.
　　
　　本研究受到南京信息工程大学科研启动基金及江苏省高校自然科学基金（11KJB110007）的支持。