三角形内角和定理的应用

　　三角形内角和定理是“三角形的内角和等于180°”．它在几何解题和证题中有着广泛的应用，现举例如下.
　　一、利用三角形内角和定理证明“三角形的外角与它不相邻的两个内角和”
　　如图1所示，延长三角形的三条边，由三角形一条边及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角．如图1中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．由于∠1+∠ABC=180°（平角），
　　又∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
　　所以∠1=∠BAC+∠BCA．
　　同法可证∠3=∠BAC+∠ABC，
　　∠5=∠ABC+∠ACB．
　　二、利用三角形内角和定理证明n边形的内角和等于（n-2）×180°
　　如图2所示，以n边形AA…A的某一个顶点（如A）为共同顶点，将这个n边形“分割成”n-2个三角形△AAA，△AAA，…，△AAA．由于每一个三角形的内角和等于180°，所以这n-2个三角形的内角和（即n边形的内角和）为（n-2）×180°.
　　三、利用三角形内角和定理巧解有关几何选择题
　　例1．△ABC中，若∠A－2∠B＋∠C=0°，则∠B的度数是（ ）
　　A.30° B.45° C.60° D.75°
　　解析：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°，可适当变形为∠A+∠C=180°－∠B，而条件∠A－2∠B＋∠C=0°，也可变形为∠A+∠C=2∠B，所以可知180°－∠B=2∠B，解此方程即可得到∠B=60°.所以选C.
　　例2．如图3，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系？（ ）
　　A．∠A=∠1+∠2 B. 2∠A=∠1+∠2
　　C. 3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=∠1+2∠2
　　解析：因为点A落在四边形BCDE的内部，所以对折后，2∠AED=180°-∠1，2∠AED=180°-∠2，在△ADE中，有三角形的内角和等于180°，可得：∠A+∠AED+∠ADE=180°，解得2∠A=∠1+∠2，所以选B.
　　例3．△ABC，①如图a，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A.
　　②如图b，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A.
　　③如图c，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°-∠A.
　　上述说法中正确的个数是（ ）
　　A.0 B.1 C.2 D.3
　　解析：①在△BPC中，∠P=180°－∠PBC－∠PCB（三角形内角和），而
　　∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
　　所以∠P=180°-（∠ABC+∠ACB），
　　而在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
　　适当变形为∠A+∠ABC+∠ACB=90°，
　　得到∠ABC+∠ACB=90°-∠A，
　　所以∠P=180°-（∠ABC+∠ACB）
　　=180°-（90°-∠A）
　　=90°+∠A
　　②根据三角形的内角和等于180°，可得：∠A+∠ABP=∠P+∠PCA……Ⅰ
　　∠ABP=∠ABC（BP为角平分线）……Ⅱ，
　　∠PCA=∠ACE（PC为角平分线），
　　而∠ACE=∠A+∠ABC（∠ACE为外角），
　　所以∠PCA=（∠A+∠ABC）……Ⅲ，
　　将Ⅱ和Ⅲ代入Ⅰ即得：
　　∠A+∠ABC=∠P+（∠A+∠ABC）
　　整理得∠P=∠A.
　　③在△BPC中，由三角形内角和知：
　　∠P+∠PBC+∠PCB=180°……Ⅰ，
　　由②的解题过程知：
　　∠CBF=∠A+∠ACB（∠CBF为外角），
　　∠BCE=∠A+∠ABC（∠BCE为外角），
　　∠PBC=∠CBF（BP为角平分线）
　　=（∠A+∠ACB）……Ⅱ，
　　∠PCB=∠BCE（CP为角平分线）
　　=（∠A+∠ABC）……Ⅲ，
　　将Ⅱ和Ⅲ代入Ⅰ即得：
　　∠P+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）=180°，
　　去括号得：
　　∠P+∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°……Ⅳ，
　　而在△ABC，有∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
　　所以∠A+∠ACB+∠ABC=90°，
　　将其代入Ⅳ式得：
　　∠P+∠A+90°=180°，
　　整理得∠P=90°-∠A.
　　故答案为C.
　　熟练掌握三角形内角和公式可以使很多问题得到更加简便的解决，这里就不一一举例了，希望同学们多加总结，学会举一反三，达到融会贯通.这样才能在解决新问题时游刃有余，思路清晰.