《简单的线性规划问题》教学设计

　　● 教材分析
　　本节课是北师大版普通高中《数学》必修5第三章《不等式》中《简单的线性规划问题》的第二课时，本节课既是上节课求最优解的巩固和发展，又是解决生活最优化问题的基础。在学生学习了平面区域的前提下，与学生共同探究最优解问题及其几何意义。
　　● 学生分析
　　学生已经学过平面区域的知识，可以根据题意列出二元一次不等式组，并且会求简单的最优解。虽然学生学过函数的应用，但是依然缺乏把生活中的问题转化成数学问题来解决的能力。
　　● 教学目标
　　知识与能力目标：进一步了解线性规划的基本思想并且熟练应用线性规划问题的一般解法（即图解法）求线性目标函数的最优解；掌握最优解中整点的求解方法；培养学生建模能力及解决实际问题的能力；渗透数形结合、化归转化的数学思想方法，培养学生“用数学” 的意识及创新意识。
　　过程与方法目标：运用多媒体让学生直观感知目标函数和可行域边界的斜率与最优解的关系，体会从特殊到一般的过程；在探究的过程中，体会最优解与目标函数和可行域边界的斜率之间的关系。
　　情感、态度与价值观目标：培养探索精神，体会独立研究问题的乐趣和成就感，感受数学的应用价值。
　　● 教学重、难点
　　重点：巩固最优解的求解方法，掌握整点的求法。
　　难点：总结发现目标函数和可行域边界的斜率与最优解的关系。
　　● 教学准备及环境
　　基于交互式电子白板的多媒体教学环境、几何画板、自制PPT课件。
　　● 教学过程
　　1.课前检测，复习引入
　　课件出示：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg碳水化合物，0.06kg蛋白质，0.06kg脂肪。1kg食物A含0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg脂肪；1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg脂肪，食物A、B如何搭配才能满足营养专家指出的日常饮食要求？
　　学生活动：自主完成检测。
　　设计意图：通过检测复习上节课学过的线性规划知识，相比提问复习，检测面对的是全体学生，可以促使每个学生检查并反思上节课知识掌握的情况。
　　师：谁来展示一下自己的作品呢？
　　生1用实物投影展示自己的作品。
　　师：她的答案正确吗？
　　生2：正确。画得挺标准的。
　　师：谁再来展示一下。
　　生3展示自己的作品。
　　师：他的答案正确吗？你有什么看法吗？
　　生4：正确是正确，可是好像画得没有刚才那位同学整洁，主要问题出在他的坐标单位没有选好。
　　师：评价得很好。那我们该如何画出更美观的图形呢？
　　生5：要先预算一下直线与两坐标轴的交点，然后确定单位坐标，才能画得更美观，而且能直观地看出区域的位置。
　　师：评价得很准确。其实数学中的图形都是很美的，不是吗？可是要画出美的图形却需要我们有好的画图习惯！
　　设计意图：促使学生养成良好的画图习惯，体会数学中的美。
　　2.检测引申，提出问题
　　思考1：若要求吃得够营养而且花钱少，我们该如何搭配才最合适呢？
　　设计意图：继续复习上节课学过的可行域、可行解、线性规划目标函数等概念及最优解的求解方法，给本节课的探究打下基础。
　　学生思考，自主完成，并且利用实物投影展示解题的过程。
　　师：说得很好，解题过程也很严谨，现在让我们来看标准的解题过程。
　　教师用PPT演示解题的标准过程。
　　设计意图：向学生直观展示求解最优解的过程，让学生熟悉求解过程，并且让学生更好地体会最优解的几何意义。培养学生严谨的思维习惯，规范学生解题的格式。
　　3.变式拓展，总结方法
　　思考2：随着季节的变化，食物A和食物B的价格有浮动，如果A和B的价格如表1所示，那么每个季节又该如何搭配才合适？
　　学生思考并自主完成题目，实物投影展示答案。
　　生1：又利用此方法重复算了三次的过程，这里面有没有什么规律呢？
　　生2：我觉得好像跟直线的倾斜程度有点关系。
　　设计意图：让学生进一步熟悉求解最优解的过程，在重复求解过程中逐步发现求解的规律，从而解决本节课的第一个重点内容。
　　师：你们想得很好，的确是有规律的，在探究规律之前让我们再来观察一下最优解的求解过程吧！
　　教师用交互式电子白板展示四组求最优解的过程。
　　设计意图：把四组求最优解的过程放在同一张PPT上，可以使学生更直观地进行比较和归纳，有利于学生迅速发现规律。从而突破本节课的教学难点。
　　问题1：你能发现什么规律吗？
　　学生思考，小组讨论并且发表小组意见。
　　生1：我们组认为，目标函数的k和平面区域边界的k有点关系。可是我说不出来是什么关系。
　　师：很好，那谁能说出来呢？
　　生2：我们组可以说，图1中当目标函数的k在k1和k2中间的时候，最优解为B点，而B恰好是l1与l2的交点，图2、图3、图4也是这样。
　　师：很好，那就说明目标函数的最优解取值与目标函数的斜率和可行域边界的斜率是有关系的。我们可以利用这个关系来求最优解。了解了规律，那让我们试试好不好用。
　　问题2：我们的最优解都是在A、B、C点，什么时候才能使最优解在D点呢？
　　设计意图：让学生应用总结的规律来设计目标函数，是规律的应用也是验证。
　　学生思考并“指导”教师在电子白板上找到最优解为D点的直线。
　　设计意图：直观展示，应用规律。
　　4.运用新知，解决新情
　　课件展示：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数，如表2。现需要A、B、C三种规格的成品分别是15、18、27块，求截得这两种钢板多少张才能满足需要，且所用钢板数最小？
　　学生利用规律解题，实物投影展示答案。
　　设计意图：利用例题验证应用学生得到的可行域边界斜率与目标函数斜率之间的关系，使学生迅速得到最优解；同时让学生学会整点的求解方法。突破了本节课的重点。
　　问题3：如何求整点？步骤是什么呢？
　　生：要先求出最优解大致的位置，然后在最优解附近寻找横纵坐标都为整数的点，从您的图上的网格就可以求出整点。
　　师：很好，所以我们把这种方法叫做网格法！
　　设计意图：不仅让学生求出整点，还要让学生总结出求整点的方法和步骤，使知识获取过程更完整。
　　5.总结归纳，整体提升（略）
　　● 教学反思
　　这节课我采取的是问题探究式的教学方法，教师给出题目，学生一个个去解决，然后教师把题目串成一个整体，让学生去发现规律、验证规律、应用规律，学生都能够积极参与，并且尽自己所能去完成任务，描述学到的方法和规律。说明学生的积极参与是有意义的学习活动。
　　本节课我应用了实物投影、交互式电子白板、移动鼠标、几何画板，PPT课件等信息技术工具，其作用不尽相同。实物投影让学生展示自己的作品，体会解决问题的成功感。交互式电子白板使学生和教师互动起来，学生与教师的距离更近了，不再是教师表演，学生看了。另外，电子白板可以迅速切换，节省了很多时间。移动鼠标使教师可以脱离讲台，走到学生当中去。几何画板可以让学生更直观地感受直线平移的过程，使学生更容易发现规律。PPT课件可以省去很多教师书写的过程，展示全面，节省时间。几何画板的链接切换，可以使课件成为一个整体。
　　
　　点评
　　本课例王老师以问题为载体，以学生为主体，以问题解决为目的，以数学实验为手段，以几何画板为平台，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣；并让学生通过自己动手操作，经历观察、发现、思考、分析、归纳提出猜想等活动，完成对最优解的意义建构。在教学过程中，王老师注重引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。
　　尤其值得肯定的是，王老师从教学实际需要出发，充分利用了各种教学手段（实物投影，交互式电子白板，移动鼠标，几何画板，PPT课件），起到了很好的教学效果。诸如，通过几何画板作图让学生更直观地感受最优解的几何意义；运用多媒体课件让学生直观感知目标函数和可行域边界的斜率与最优解的关系，体会从特殊到一般的过程，培养学生归纳总结的能力；在几何画板、交互式电子白板的应用中，师生互动“操盘”，改变单一的教师演示的模式，通过实时的动态模拟，实现数、图、表的多元联系，这初步体现了教学过程中教师、学生、内容和媒体四要素功能的转变，激发了学生探究的兴趣，提高了他们的实验、分析、探究能力，最终获得问题的解决。
　　学生学习方式的改进源于教师教学方式的改进，因此，教师的数学教育理念直接影响着数学课程与信息技术整合的开展。《普通高中数学课程标准（实验）》中提出了信息技术与数学课程整合的内涵：第一，信息技术与数学课程内容的有机整合；第二，增强数学的可视化，提高数学课堂教学效率；第三，运用信息技术改变学生的学习方式。马宁、余胜泉在《信息技术与课程整合的层次》一文中，根据信息技术与课程整合的不同程度和深度，将整合的进程大略分为三个阶段：一是封闭式的、以知识为中心的课程整合阶段；二是开放式的、以资源为中心的课程整合阶段；三是全方位的课程整合阶段。综观本课例，王老师的“整合”实践还基本属于第一阶段（信息技术作为演示、交流、个别辅导工具）。