一维声子晶体带隙研究概述

邱学云

(文山学院数理系,云南文山663000)

一维声子晶体带隙研究概述

邱学云

(文山学院数理系,云南文山663000)

文章对声子晶体的概念、基本特征和分类进行简要概述.总结分析一维声子晶体的三种简化模型和一维声子晶体的计算方法及其带隙研究成果.展望一维声子晶体在低频振动、噪声控制、抗振防震方面的应用可能,为深入研究一维声子晶体提供依据.

一维声子晶体;能带结构;带隙

半导体中的电子与周期分布的原子势场相互作用,使得半导体形成电子带隙,即电子能带间的频率范围,也叫电子禁带,人为设计能够控制电子的流动.近年来,能带理论突破了以固有材料为研究对象的限制,进入了通过能带设计来模拟实际晶格以获得新型功能材料和器件的新阶段.在这些材料中存在能够禁止某种经典波传播的频率范围,这些频率范围称为带隙.具有经典波带隙的周期性复合材料或结构统称波晶体.通常把存在电磁波带隙,介电常数周期分布的材料或结构称光子晶体,把存在弹性波带隙,弹性常数及密度周期分布的材料或结构称声子晶体.

文章对声子晶体的概念、基本特征、和分类进行简要概述,总结分析一维声子晶体的计算方法及其带隙研究成果,展望一维声子晶体的应用可能,为深入一维声子晶体的应用研究提供依据.

1 声子晶体概述

1.1 声子晶体概念和基本特征

1987 人们年发现了一种新型光子材料--光子晶体[1-2],在光子晶体研究的基础上,提出了声子晶体的概念.M.S.Kushwaha等1993年第1次提出声子晶体概念时,就对电子晶体、光子晶体和声子晶体的有关特性进行了比较[3],通过比较研究,得出它们非常相似性[4].声子晶体是一种具有弹性波带隙的周期性结构材料,即在带隙频率范围内的弹性波不能够传播.基于这一特性,声子晶体在隔声、降噪、减振方面有广阔的应用可能.

声子晶体内部材料的弹性常数、密度、杨氏模量等材料参数周期性变化和材料结构参数晶格尺寸、组份比的不同,声子晶体的弹性波带隙也就不同.带隙分完全带隙和不完全带隙,在特定的频率范围内,波在波矢的所有方向上都不能传播的称为完全带隙.频率范围内只允许某些方向上的波通过,其它方向禁止通过的带隙具有方向性,称为不完全带隙.一般来说,声子晶体中各组份比越大,入射波将被散射得越强烈,就越容易产生带隙[5].

1.2 声子晶体的分类

声子晶体一般由两相或以上的弹性介质复合组成.根据声子晶体结构在笛卡尔坐标系中周期排列形式的不同,分为一维、二维及三维结构.如图1所示,从左到右分别为一维(层状)、二维(柱状)、三维(正方体)声子晶体结构示意图.声子晶体结构常用的组份形态有层状、柱状、长方体、正方体、球形、椭球形等,材料可以是实心或中空的,可以是不同物相不同组份的复合.

图1 声子晶体结构示意图

2 一维声子晶体简化模型

一维声子晶体一般有层状结构和杆状结构两种.对一维声子晶体带隙进计算分析时,通过调控组元材料的结构参数或材料参数来调控声子晶体的带隙情况.对于一维声子晶体,当相邻两个离散单元为同种材料时沿x方向的拉压刚度为2ES/(dj+1+dj),不同种材料时拉压刚度为2EAEBS/(EAdj+1+EBdj),E为弹性模量.对于原胞中包含两种以上材料叠合的情形也可以按上述方法进行简化处理.[6]

2.1 严格周期性声子晶体模型

如下图2所示是一维严格周期性声子晶体简化模型.图(a)是一维二组元结构,图(b)是一维三组元结构.不同弹性常数和密度的材料A、B或材料A、B、C沿x方向交替排列形成一维二组元(三组元)声子晶体的简化模型.用集中质量法可以将其分解为有限个集中质量,各个集中质量间之间的连接简化为无质量的弹簧连接,声子晶体原胞由材料A和材料B组成,理论上是无限多自由度的连续介质系统.因此,其原胞可简化为有限个自由度的弹簧振子结构,而一维声子晶体则简化为周期弹簧振子结构.[7]如下图3所示是一维二组元声子晶体的离散示意图,我们只要找到离散后的集中质量和弹簧刚度与连续介质材料参数之间的关系,就可以计算连续介质的一维二组元声子晶体的带隙结构.

2.2 层厚递变式一维准周期结构声子晶体模型

曹永军等[8]提出一种层厚递变式一维准周期结构声子晶体模型.如图4所示,系统共有N个周期2N层,分3种情况:第一种情况是第1个周期中两种介质的厚度为dA和dB,其后每个周期的厚度同时依次递增或递减一个Δd;第二种情况是第1个周期中两种介质的厚度为dA和dB,其后每个周期中介质A的厚度不变,而介质B的厚度依次递增或递减一个Δd;第三种情况是第1个周期中两种介质的厚度为dA和dB,其后每个周期中介质B的厚度不变,而介质A的厚度依次递增或递减一个Δd.通过计算弹性波通过该一维准周期结构声子晶体的透射系数,并与周期结构声子晶体的透射系数进行比较.研究发现利用准周期排列结构可以有效地调节声子晶体的带隙宽度和所在的频率范围.

图4 层厚递变式准周期结构声子晶体模型

2.3 一维功能梯度材料声子晶体模型

宿星亮等[9]提出了一维功能梯度材料声子晶体模型.如图5所示,该模型研究的一维声子晶体是由材料常数按指数形式分布的功能梯度材料沿x轴方向周期排列而成.该功能梯度材料单元两端表面材料常数相同,在原胞中心a处达到材料常数峰值,周期排列后构成材料常数宏观上连续变化的一维结构.

图5 一维功能梯度材料声子晶体模型

上述三种一维声子晶体模型:第一种是材料参数和结构参数严格周期性变化的;第二种是材料参数不变,结构参数层厚递变式的准周期性结构;第三种是材料参数按指数形式分布变化,结构参数不变的准周期性结构.三种模型各有优点,都具有各自的实际应用价值.

3 一维声子晶体带隙计算及其研究

国内外有关声子晶体带隙研究的文献主要是对声子晶体的布拉格散射机理[10-12]、局域共振带隙机理[13-18]和带隙特性进行研究.局域共振带隙机理由我国刘正猷教授等人2000年提出.局域共振带隙机理认为,在特定的弹性波激励下,声子晶体结构基体中的散射单元产生共振,并同弹性波相互作用,从而抑制其传播.这为低频振动与噪声控制的应用研究开辟了一条新思路[19].另外,王刚等人主要研究了不同周期结构的带隙计算方法和带隙特性,研究也取得了很多的成果[20].下面是常用的一维声子晶体带隙的计算方法及其部分研究成果.

3.1 传递矩阵法

传递矩阵法[21-22]是从连续状态参数应力、质点位移等的基本方程入手,结合界面连续条件,得出单个周期的传递矩阵.通过引入周期边界条件得到相应的色散关系即能带结构,同时通过有限个传递矩阵相乘可得到有限周期传输特性.该方法计算量较小,可计算一维声子晶体带隙,不能直接处理二维和三维声子晶体的带隙.

郁殿龙等[23]利用该法研究了表面局域态对一维声子晶体中水平剪切波传输特性的影响情况,研究表明共振峰的极值与入射角度和声子晶体层数有关,合适的入射角度和层数可以使声波完全透射.当入射角在一定范围内连续变化时,在较宽频率范围内均出现较大透过率.声子晶体的这一特性可以应用于高性能的阻抗匹配材料和声波滤波器中.

蒋泽等[24]应用广义传输矩阵法,建立了声波传播特性的理论分析模型,得到了其声波场的平面波解,给出了数值实现方案.其研究表明,该方法可精确地模拟弹性波通过一维有限厚的严格周期结构、准周期结构以及完全无序结构的传播特性.

3.2 平面波展开法

对于平面波展开法[25-26]是因为声子晶体具有周期性,可将相关参数按傅里叶级数展开,结合Bloch定理,把声子晶体波动方程放到倒格矢空间以平面波叠加的形式展开,将声子晶体波动方程的求解转化成本征值问题,从而得到频率与波矢之间的色散关系即声子晶体的带隙结构.该法可用于计算一维、二维、三维声子晶体中固体/固体、液体(气体)/液体(气体)的复合结构,但在计算、液体(气体)/固体结构时存在困难.应用该法时当组元材料参数差异较大时计算量大,收敛慢,但是随着计算机的更新换代,这个问题已经得到改善.宿星亮,等[9]应用此法研究了由功能梯度材料周期复合而成的一维声子晶体中存在的弹性波带隙特征,结果表明功能梯度材料声子晶体较常规材料声子晶体在相同范围内能够出现更多阶带隙结构.

肖伟等[27]提出用波传播法来研究一维声子晶体的带隙特性,将该方法与平面波展开法进行比较,发现平面波展开法随着波数的增加而逐渐收敛于波传播法的结果.如将波传播法应用于一维二组元和一维四组元声子晶体禁带特性的计算中,在相同计算精度下波传播法的计算时间大约为平面波展开法的1/50和1/100.当考虑到粘弹性材料的频变特性时,波传播法能直接得到声子晶体的禁带特性,在相同的计算精度下波传播法的计算量大约要比经过迭代改进的平面波展开法的计算量小两个数量级.

闫志忠等[28]发展了一种基于小波的一维声子晶体弹性波带隙计算方法,将弹性波场在小波基上展开,得到一个关于自适应计算小波积分的一般矩阵特征值问题.将该方法应用到二元体系的声子晶体,与传统平面波展开法相比,该方法的计算结果与之相符合,而且可在得到同样计算精度的条件下,显著降低计算量,提高计算速度.

王刚等[29]采用迭代法改进了一维声子晶体带隙特性计算的平面波展开算法,以使其适用于组成材料粘弹性所导致的弹性常数随频率非线性变化的特性.在将该算法应用于丁腈橡胶和钢组成的一维周期结构声子晶体振动带隙的研究中,理论计算和振动测试结果吻合理想.

3.3 集中质量法

集中质量法[30-31]是基于振动力学中连续系统的离散化思想,在声子晶体中将各组元连续介质中的质量集中到有限个节点或截面上,把有限个节点或截面视为有限多个自由度的弹簧振子结构,即将声子晶体弹性波带隙的计算简化为计算周期弹簧振子结构的弹性波带隙.其本质是将无限自由度系统转化成有限自由度系统近似求解.这种方法特别适合计算大弹性常数差组份复合而成的一维声子晶体,并且这种方法可以更加直观地描述声子晶体内部作用机理,这对声子晶体带隙的产生机理揭示将起到重要作用.

刘铁权等[32]将一维声子晶体的原胞简化为有限多个自由度的弹簧振子结构后,在辛对偶变量体系下探讨晶格振动,引入辛数学方法确定波矢与本证值的色散关系.通过本证值计数法计算特征频率,从而得到禁带区间.研究认为与传统集中质量法相比,该算法的计算结果与之吻合很好,且提高了计算精度和计算效率,在低频处收敛性更好,可以借鉴参考.

结束语

深入研究一维声子晶体的带隙特性,将会发现许多新的物理现象,从理论计算寻找到具有带隙起始频率低且有一定带宽的周期结构,分析其在噪声控制、低频防震方面的应用可能,理论设计出具有隔声、降噪、减振性能的一维声子晶体模型和具有低频防震性能的工程模型,可为工程应用做贡献.

作为一种新材料,各种结构声子晶体的应用都还处于展望阶段,但由于声子晶体所具有的特殊性质使得其在航空航天、电子器件、人造脏器、汽车发动机、声功能器件、等诸多方面都有广泛的应用前景.

[1]Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solidstate physics and electronics.Phys[J].Rev.Lett.,1987,58(20):2059

[2]John S.Strong localization of photons in certain disordered dielectric[J].Phys.Rev.Lett.,1987,58(23):2486.

[3]Kushwaha M S,Halevi P,DobrzynsiL.Acoustic band structure of periodic elastic composites[J].Physical Review Letters,1993,71(13):2022-2025.

[4]温熙森,等著.光子/声子晶体理论与技术[M].北京:科学出版社,2006,3-4.

[5]Vasseur J O,Djafarirouhani B,DobrZynski L,et al.Acoustic band gaps in fibre composite materials of boron nitride structure[J].J.Phys.Condens.Mat.,1997,9(35):7327.

[6]温激鸿,王刚,郁殿龙,等.声子晶体振动带隙及减振特性研究[J].中国科学E辑,2007,37(9):1126-1139.

[7]温熙森,温激鸿,郁殿龙,等.声子晶体[M].北京:国防工业出版社,2009;101.

[8]曹永军,胡晓颖,周培勤.一维准周期结构声子晶体带隙特性的研究[J].内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版),2008,37(1):53-57.

[9]宿星亮,高原文.一维功能梯度材料声子晶体弹性波带隙研究[J].功能材料,2010,41(增刊):368-370.

[10]LIU Z,CHAN C T,SHENGP.Three-component elastic wave band-gap material[J].Phys.Rev.B,2002,65(16):165116.

[11]GOFFAUX C,DEHESA S J.Two-dimensi onal phononic crystals studied using a variati onalmethod:app licati on to lattices of l ocally res onantmaterials[J].Phys.Rev.B,2003,67(14):144301.

[12]H IRSEKORN M.Small-size sonic crystalswith strong attenuation bands in the audible frequency range[J].Appl.Phys.Lett,2004,84(17):3364-3366.

[13]GOFFAUX C,DEHESA S J,YEYAT IA L,et al.Evidence of fano-like interference phenomena in l ocallyres onantmaterials[J].Phys.Rev.Lett,2002,88(22):225502.

[14]VASSEUR J O.Experimental and theoretical evidencefor the existence of abs olute acoustic band gap s in twodi mensi onal s olid phononic crystals[J].Phys.Rev.Lett,2000,86:3012.

[15]PABLOS GD.Theory and experi mental on elastic bandgaps[J].Phys.Rev.Lett,2000,84:4349.

[16]VASSEUR J O.Phononic crystal with l ow filling fracti on and abs olute acoustic band gap in the audible frequency range:a theoretical and experimental study[J].Phys.Rev.E,2002,65(5):6608-6613.

[17]H IRSEKORN M,DELSANTO P P,BATRA N K,et al.Modelling and si mulati on of acoustic wave p r opagati on in l ocally resonant s onicmaterial[J].Ultras onics,2004,42(129):231-235.

[18]HOK M,CHENG C K,YANG Z,et al.Br oadband locally resonant sonic shields[J].Appl.Phys.Lett,2003,83(26):5566-5568.

[19]L IU Z,ZHANG X,MAO Y,et al.Locally resonants onic materials[J].Science,2000,289:734-1736.

[20]王刚,温激鸿,韩小云,等.二维声子晶体带隙计算中的时域有限差分方法[J].物理学报,2003,52(8)

[21]Camly R E,Djafari-Rouhani B,Dobrzynski L.Transverse elastic waves in periodically layered infinite and semi-infinite media[J].Phys.Rev.B.,1993,27(12):7318.

[22]Sigalas M M,Soukoulis C M.Elastic-wave propagation through disordered and/or absorptive layered systems[J].Phys.Rev.B.,1995,51(5):2780.

[23]郁殿龙,刘耀宗,邱静.表面局域态对一维声子晶体中水平剪切波传输特性的影响[J].人工晶体学报,2005,34(3):425-430.

[24]蒋泽,赵琳,周建超.一维声子晶体中声波传播的理论分析[J].压电与声光,2007,29(6):638-640.

[25]Vasseur J O,DjafarirouhaniB,DobrZynskiL,et al.Acoustic band gaps in fibre composite materials of boron nitride structure[J].J.Phys.Condens.Mat.,1997,9(35):7327.

[26]Vasseur J O,Djafari-Rouhani B,Dobrzynski L,et al.Complete acoustic band gaps in periodic fibre reinforced composite materials:the carbon/epoxy composite and some metallic systems[J].J.Phys:Condens Mat,1994,(6):8759.

[27]肖伟,曾广武.基于波传播法的一维声子晶体禁带[J].机械工程学报,2007,43(1):125-128.

[28]闫志忠,汪越胜.一维声子晶体弹性波带隙计算的小波方法[J].中国科学G辑,2007,37(4):544-551.

[29]王刚,温激鸿,刘耀宗,等.一维粘弹材料周期结构的振动带隙研究[J].机械工程学报,2004,40(7):47-50.

[30]温激鸿,王刚,刘耀宗,等.基于集中质量法的一维声子晶体弹性波带隙计算[J].物理学报,2004,53(10):3384.

[31]温激鸿,王刚,刘耀宗,等.大弹性常数差二维声子晶体带隙计算中的集中质量法[J].物理学报,2005,54(03):1247.

[32]刘铁权,邓子辰,周加喜.基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算[J].振动与冲击,2010,29(12):102-105.

Research Review on the Band Gap of One-dimensional Phononic Crystals

QIU Xue-yun

(Department of Math and Physics,Wenshan University,Wenshan Yunnan 663000,China)

The article briefly summarizes the concept of photonic crystals,its basic characteristics and classification.It analyzes and concludes the three simplified models of the one-dimensional phononic crystals,the calculation methods and the research result of the band gap.It offers a basis for further research on one-dimensional phononic crystals by forecasting the possible applications in low frequency vibration,noise control,anti-seismic and the earthquake prevention.

one-dimensional phononic crystals;band structure;band gap

O469

A

1008-9128(2011)02-0005-04

2011-03-12

国家自然科学基金项目(10664006);云南省教育厅科研基金项目(2010Y093)。

邱学云(1979-),男,云南宣威人,助理研究员,理学硕士。研究方向:声子晶体、凝聚态物理。

[责任编辑 张灿邦]