n－李代数自同构群和导子的提升

王 莹，王永曦，王 颂，张庆成

（1.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春130024；2.清华大学理学院，北京 100084）

n－李代数自同构群和导子的提升

王 莹1，王永曦2，王 颂1，张庆成1

（1.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春130024；2.清华大学理学院，北京 100084）

构造了n-李代数的uce函子并定义了它的乘法运算，给出了在函子作用下n-李代数自同构群提升和导子提升的条件是n-李代数完全，完善了n-李代数的扩张理论.

n-李代数；自同构群；导子

0 引言

1985年，V.T.Fillippov在文献［1］中提出了n-李代数的概念，并给出了第一个n-李代数的例子，提出了一些结构概念，如单性、幂零性及n＋1维n-李代数的分类.Sh.m.Kasymov在文献［2-4］中讨论了n-李代数的可解性和幂零性及其表示问题.1993年，L.A.Takhtajan在文献［5］中给出了n-李代数的几何和物理背景.文献［6-8］介绍并研究了n-李代数的扩张、导子、同构以及自同构群；文献［9-15］提出了n-李代数的型心、最大秩的幂零n-李代数与特征幂零的n-李代数的概念，并研究了其结构.为了完善对各种代数的研究，人们对它们的中心扩张及自同构群和导子的提升问题都进行了研究，如Kac-Moody代数与Virasoro代数的中心扩张等.文献［16］介绍了n-李代数中心扩张的一些基本概念和理论，给出了n-李代数L存在泛覆盖的充分必要条件是L为完全的这一重要结论.文献［17-18］对李三系进行了研究，给出限制李三系的一些性质.本文基于n-李代数中心扩张问题的已知结果，借助李超代数构造和证明的一些方法和结论，主要研究n-李代数的自同构群和导子提升.构造了n-李代数的uce函子，给出并论证了当n-李代数L完全时，n-李代数L的自同构f能提升为uce（L）的自同构uce（f），n－李代数L的导子d能提升为uce（L）的导子uce（d）.

1 预备知识

如无特殊说明，本文所用的概念和符号均与文献［16］相同.

2 n-李代数上uce函子的构造

若Z（L）＝0，由性质1.1知u（Z（uce（L）））＝Z（L）＝0，Z（uce（L））⊂Keru＝H2（L）⊂Z（uce（L）），故有H2（L）＝Z（uce（L））.

3 n-李代数自同构群的提升

4 n-李代数导子的提升

［1］ FILIPPOV V T.n-Lie algebra［J］.Sib Mat Zh，1985，26（6）：126-140.

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［5］ TAKHTAJAN L A.On foundation of the generalized nambu mechanics［J］.Comm in Mathematical Physics，1994，160（2）：295-315.

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［8］ 赵冠华.n-李代数导子和自同构群［J］.河北师范大学学报：自然科学版，2004，28（2）：127-129.

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［10］ 白瑞蒲，张知学，李华君，等.n＋1维n-Lie代数的导子代数［J］.数学进展，2003，32（5）：553-559.

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［16］ 白瑞蒲，张艳艳，孟道骥.n-李代数的中心扩张［J］.数学年刊：A辑，2006，27（4）：491-502.

［17］ 刘秀娟，徐晓宁，陈良云.限制李三系的若干性质［J］.东北师大学报：自然科学版，2009，41（2）：7-12.

［18］ 吴晗，任丽，张永正.环上（p，q）型Lorentz李代数的 Killing型与理想［J］.东北师大学报：自然科学版，2010，42（1）：1-4.

Automorphisms and derivations’lifting ofn-Lie algebras

WANG Ying1，WANG Yong-xi2，WANG Song1，ZHANG Qing-cheng1
（1.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；
2.School of Sciences，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

In this paper，the uce functor is constructed ofn-Lie algebras and is defined the multiplication on it，and is given the lifting condition of automorphisms and derivations is that then-Lie algebra is complete，such consequence makes expansion theory of then-Lie algebras perfect.

n-Lie algebras；automorphism；derivation

O 152.5

110·21

A

1000-1832（2011）04-0013-07

2010-11-15

国家自然科学基金资助项目（10871057）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目.

王莹（1987—），女，硕士研究生，主要从事李代数研究；通讯作者：张庆成（1960—），男，博士，副教授，主要从事李代数研究.

陶 理）