脉冲星导航中最优脉冲星组合选取方法

褚永辉 王大轶 黄翔宇

（1北京控制工程研究所，北京100190）（2空间智能控制技术重点实验室，北京100190）

1 引言

脉冲星自主导航是近年来国内外广泛研究的热点［1］。根据信号辐射频段和能谱的不同，脉冲星分为不同的类型。其中，X射线脉冲星具有稳定的周期，且信号利于轻小型敏感器检测，因此，X射线脉冲星成为脉冲星导航的首选观测对象［2］。由于观测手段的限制，目前，特征参数准确、能够提供导航信息的X射线脉冲星并不多。如何在为数不多的脉冲星中根据探测任务的需要选取最优的导航脉冲星成为一个关键问题。

在X射线脉冲星导航系统中，基本观测量是脉冲到达时间（Time of Arrival，TOA），航天器通过同一脉冲到达航天器和太阳系质心（Solar System Barycenter，SSB）的时间之差（Time Difference of Arrival，TDOA）来确定轨道。根据误差协方差分析方法，影响导航误差的因素有导航目标空间几何位置分布和测量误差。TDOA转换成距离就是探测器的位置矢量在脉冲星方向上的投影，与脉冲星和航天器的位置关系密切相关，因此脉冲星的空间分布势必会影响导航误差。同时，脉冲星导航的间接观测量是通过测量脉冲轮廓和标准脉冲轮廓对比获得的，测量脉冲轮廓又是通过对光子的时间序列经过历元折叠得到，因此光子的测量误差直接影响测量脉冲轮廓的精度，所以导航观测量的获取还与光子测量误差直接相关。

目前，对于脉冲星导航的研究主要集中在导航原理方面［2-3］，而对导航脉冲星组合优选问题的研究较少。文献［4］利用误差协方差评价脉冲星绝对和相对定位精度，并假设各脉冲星测量噪声相同，而在实际观测中这一假设很难成立。文献［5］初步研究了脉冲星的选取，但仅考察了噪声的影响，对脉冲星空间分布的影响并没有说明。

本文研究了X射线脉冲星导航中导航脉冲星的优选问题，结合误差协方差法，提出了导航脉冲星组合优选方法。首先介绍了X射线脉冲星导航原理和测量噪声特性，分析指出影响测量噪声的主要因素是敏感器有效面积和观测时间。然后在误差协方差分析的基础上，提出了脉冲星组合优选方法：当假设脉冲星测量噪声相同时，给出了只与空间位置分布有关的位置精度因子（Positioning Dilution of Precision，PDOP）优选指标；对脉冲星测量噪声存在差异的情况，综合考虑了噪声差异和空间分布的影响，给出了脉冲星优选指标（Pulsars Selet Criteria，PSC）。最后以深空探测火星环绕段为背景，仿真验证了优选方法的有效性。

2 X射线脉冲星的测量噪声特性

基于X射线脉冲星的导航原理是通过测量X射线脉冲星信号到达探测器和到达太阳系质心的时间之差来确定探测器相对于SSB的位置。脉冲星导航的基本观测量是脉冲光子TOA，该信号通过安装在航天器上的X射线敏感器测量得到。

考虑到相对论效应的影响和采用X射线敏感器测量TOA的局限性，TOA观测量可通过如下简化的时间转换方程［5］描述：

式中tsc表示光子到达航天器的时间；tb表示同一脉冲光子到达SSB的时间；n表示SSB指向脉冲星的单位矢量，称为视线矢量；rs表示航天器相对于SSB的位置；c表示光速；D0表示脉冲星到SSB的距离；b为SSB相对于太阳质心的位置矢量；μs为太阳引力常数；δt表示星钟漂移产生的偏差；vt表示测量噪声。本文暂不考虑星钟偏差影响。

当脉冲星辐射的X射线光子进入敏感器视场时，光子计数器记录X射线光子数量和能量，并利用星载时钟标记光子TOA。但是，通过单个光子TOA并不能获取脉冲星的基本特征信息，需要将TOA转换到太阳系质心参考系中，经过信号处理过程，才能得到观测时间内的脉冲轮廓曲线［6］，称为测量脉冲轮廓曲线，通过该曲线才能得到所观测量脉冲星的导航信息。由此可以看出，脉冲信号的测量误差是决定导航性能的关键因素，如何提高TOA测量精度成为脉冲星导航的关键。TOA测量精度不仅与探测器本身特性有关，还与所观测脉冲星的固有特性、探测系统噪声和信号处理方法等因素有关。

当航天器对某一脉冲星观测时，TOA观测量的测量噪声方差为

式中W表示脉冲宽度；S／N表示信噪比；Fx表示光子辐射流量；FB表示背景辐射光子流量；pf表示辐射源的占空比；A表示敏感器有效观测面积；T为观测时间；d为脉冲宽度比。

由式（3）可以看出，增加敏感器有效观测面积和提高观测时间均能提高TOA测量精度。但是，延长观测时间会增加测量延迟对观测量的影响，加大敏感器观测面积势必会增加品质，因此这两项指标均不能无限制增加。

3 最优导航脉冲星组合选取方法

根据脉冲星导航原理可知，观测1颗脉冲星可以确定航天器位于垂直脉冲星方向矢量的平面内；观测2颗脉冲星时，可以确定航天器位于垂直于两个脉冲星方向矢量的平面交线上，只有观测3颗以上脉冲星才能唯一确定航天器的位置。下面研究3颗以上导航脉冲星组合的优选方法。

3.1 测量噪声相同的情况

由于观测条件的限制，某些脉冲星的特征参数仍不准确。当所观测脉冲星的信号品质较差且参数不准确时，测量噪声不易计算，此时则假设所观测脉冲星测量误差相同，即＝σ2。下面研究测量误差相同时的优选指标。

假设某时刻航天器观测到m颗脉冲星，其导航原理如图1所示，PSR表示脉冲星。

以脉冲TDOA为观测量，仅考虑一阶情况，观测方程为

图1 m颗脉冲星导航原理图Fig.1 Principle of mpulsars navigation

设状态向量r＝［x，y，z，cδt］T，则最小二乘马尔科夫估计误差协方差阵为

类似GPS，定义PDOP为脉冲星优选指标

即

由式（7）可以看出PDOP的数学意义：左侧的平方根项给出了脉冲星导航估计位置误差的总特征，PDOP作为几何因子，可以看作是从观测量中的测量误差到状态估计误差的线性映射，代表从测量误差的标准差σ到估计值的放大倍数。由PDOP定义可知，PDOP越小，导航误差越小，因此应该选取PDOP较小的脉冲星组合。

3.2 测量噪声不同的情况

当所观测脉冲星的信号品质较好且特性参数较准确时，测量噪声可以通过式（2）计算，观测不同的脉冲星时测量噪声会有差异。此时影响导航误差的因素不仅仅是脉冲星空间分布，测量噪声的差异也会对导航精度产生影响。因此，进行导航脉冲星组合筛选时应该综合考虑测量噪声差异和脉冲星空间位置分布对导航误差的影响。下面给出优选脉冲星组合指标。

当脉冲星观测噪声不相同时，误差协方差阵为

当观测m颗脉冲星时，定义导航脉冲星组合优选指标PSC为

由定义可以看出，PSC越大，误差协方差阵的迹越小，导航误差小。PSC指标综合考虑了导航脉冲星空间分布和测量噪声差异的影响。

4 数学仿真

从脉冲星星表库中筛选出信号品质较好的25颗脉冲星［4］作为备选脉冲星，仿真验证优选方法的有效性。备选脉冲星如表1所示。

表1 备选导航脉冲星Tab.1 Selected navigation pulsars

以火星环绕段为背景进行数学仿真。X射线敏感器每600s获得一次脉冲星观测量，当敏感器无测量数据时导航滤波器仅预测。

仿真条件：

1）起始时间：2007-07-01 12∶00∶00.000，2007-07-03 12∶00∶00.000。

2）坐标系选择火星惯性坐标系。

3）所用轨道参数：a＝6 794km，e＝0，i＝45°，w＝0，Ω＝0，f＝0。

4）初始位置（4 574.075，5 023.571，0）km，初始速度（-0.255，0.232，2.487）m／s。

5）初始位置误差50km，初始速度误差5m／s。

6）滤波模型建模误差：Q＝diag［0 0 0 10-210-210-2］。

真实轨道由STK产生，考虑火星形状、太阳辐射光压以及太阳和火卫星第三体摄动，滤波模型仅考虑火星引力，采用式（1）作为观测方程。导航滤波算法采用扩展卡尔曼滤波。

下面仿真验证观测3颗脉冲星时优选方法的有效性。从表1中选择3颗导航脉冲星，有种组合，分别计算PDOP值，测量噪声均方差取1 000ms。PDOP值最小的一组记为A组，最大的一组记为B组，选取结果如表2所示。

数学仿真结果如表3所示。

表2 PDOP指标选取结果Tab.2 Result based on PDOP

表3 导航滤波结果比较 （A组、B组）Tab.3 Estimate result comparison

通过仿真结果可以看出，采用B组脉冲星组合仿真时导航误差明显变大。

下面给出考虑测量噪声差异时的仿真结果。以PSC为指标，优选3颗脉冲星，分别计算PSC值，测量误差用式（2）计算，这里取敏感器有效观测面积A＝1m2，观测时间T＝600s。PSC值最小的一组记为C组，最大的一组记为D组，选取结果如表4所示。

由PSC计算结果可知，当考虑测量噪声差异后，PSC指标变化明显，导航误差有较大变化。数学仿真结果如表5所示。

表4 PSC指标选取结果Tab.4 Result based on PSC

表5 导航滤波结果比较 （C组、D组）Tab.5 Estimate result comparison

由仿真结果可以看出，D组脉冲星组合的导航误差非常大，甚至不能完成导航任务。

当导航脉冲星数量增加到4颗时，选取最优的脉冲星组合为（9，12，15，24），PSC＝1.87×10-6，该值比C组PSC小，即导航误差比选择3颗导航脉冲星时的最优组合PSC还要小。究其原因是增加导航脉冲星虽然提高了几何约束，但与此同时也增加了测量噪声。综上所述，在进行导航脉冲星规划选取时，如果已知观测脉冲星测量噪声，那么并非观测脉冲星数量越多越好，而是应该节约有限资源，选择信号品质好、空间位置分布好的少数脉冲星进行观测。

5 结束语

X射线脉冲星导航中，航天器通过观测X射线脉冲星信号获得观测量TOA。导航脉冲星的空间分布和测量噪声与导航精度直接相关。本文研究了导航脉冲星组合选取方法，分别在测量噪声相同和不同的情况下定义了优选指标PDOP和PSC，并给出了优选方法：当所观测脉冲星特征参数不准确时，不考虑测量噪声差异的影响，以PDOP为指标，PDOP指标越小，则脉冲星空间分布越好，导航误差越小；当脉冲星特征参数准确时，综合考虑脉冲星空间几何分布和噪声差异的影响，PCS指标越大，导航误差越小，此时选取的导航脉冲星组合为最优。

［1］王大轶，黄翔宇.深空探测自主导航与控制技术综述［J］.空间控制技术与应用，2009，35（3）：6-12.WANG DAYI，HUANG XIANGYU.Survey of autonomous navigation and control for deep space exploration［J］.Aerospace Control and Application，2009，35（3）：6-12.

［2］HANSON ERIC JOHN.Principles of X-ray navigation［D］.Stanford：Stanford University，1996.

［3］SHEIKH I SUNEEL，PINES J DARRYLL，RAY S PAUL.et al.Spacecraft navigation using X-ray pulsars［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2006，29（1）：49-63.

［4］SHEIKH SUNEEL.The use of variable celestial X-ray sources for spacecraft navigation［D］.College Park：University of Maryland，2005.

［5］毛悦，宋小勇，柴飞.脉冲星TOA测量误差及几何精度分析［J］.测绘科学技术学报，2009，26（2）：140-143.MAO YUE，SONG XIAOYONG，CHAI FEI.Analysis of pulsar time-of-arrival measurement error and dilution of precision［J］.Journal of Geomatics Science and Technology，2009，26（2）：140-143.

［6］HANSON JOHN，SHEIKH SUNEEL，et al.Noise analysis for X-ray navigation systems［C］.IEEE／ION Position，Location and Navigation Symposium，2008：704-713.