一道数学竞赛题的一般形式

潘 杰， 周 玲

（合肥工业大学数学学院，合肥 230009）

一道数学竞赛题的一般形式

潘 杰， 周 玲

（合肥工业大学数学学院，合肥 230009）

介绍浙江省2008年高等数学竞赛一道二重积分的一般形式，分别利用化累次积分法、变数替换法、等值线法给出不同的证明.

数学竞赛；二重积分；累次积分；变量替换；等位线法

2008年浙江省高等数学竞赛（理工类）试题的第三大题为

本文介绍这道试题的一般形式及其多种证法.

设f（t）为连续函数，则有

证法1 先将二重积分化为累次积分，利用变量替换并交换积分顺序进行证明.

证法2 利用二重积分的变量替换.

证法3 利用等位线方法（可参阅［1］）.

令x-y＝t，则在D上，-A≤t≤A.

以｜A0B0｜为长为宽的矩形面积作为面积元素d S（t），即

由（1）不难知道，若f（x）为连续的偶函数，则有

其中a＞0为常数，D0＝｛（x，y）｜x｜≤a，｜y｜≤a｝.（第8届（1996年）北京市大学生数学竞赛题）

利用（1）或（2），不难求解本文开头的数学竞赛题.

在（1）中取f（x-y）＝sin（x-y）2，A＝2，则有

［1］ 黄元兵.等位线（面）的多重积分［J］.高等数学研究，2004，7（2）：28-29.

O172.2

C

1672-1454（2011）04-0156-03

2008-10-20