归纳、猜想与证明

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(嘉兴市第一中学实验学校 浙江嘉兴 314001)

归纳、猜想与证明

●陆洪良

(嘉兴市第一中学实验学校 浙江嘉兴 314001)

随着新课程标准的推行和考试观念的转变，以注重培养学生的发现思维能力与解决问题能力的新题型越来越多地涌现，其中归纳、猜想与证明等问题备受青睐．那么，什么是归纳、猜想与证明呢？归纳、猜想与证明指的是给出一定的条件(可以是有规律的算式、图形或图表等)，让学生认真分析、仔细观察、综合归纳、大胆猜想、得出结论，进而加以验证(或证明)的数学探索问题．其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证(或证明)结论．这类问题形式多样、方法灵活多变、技巧性强，学生普遍感到束手无策．本文试图通过数与式、函数、几何图形和操作性4种类型的问题来阐述这类题型的解题思想方法．

1 数与式类型

例1计算：21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22 011-1的个位数字是

( )

A．1 B．3 C．7 D．5

解因为21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，26-1=63，27-1=127，28-1=255，…，可以发现，个位数字呈1，3，7，5周期性循环，而22 011=24×502+3，所以22 011-1的个位数是7．故选C．

例2观察下面的几个算式：

1+2+1=4，

1+2+3+2+1=9，

1+2+3+4+3+2+1=16，

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…

根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结果：

1+2+3+…+2 010+2 011+2 010+…+

3+2+1=________．

分析这是一道数字类探索性问题.解这一类型题目要用到归纳推理，经过观察知道：加数排列成“回文”的形式，依次从小到大，再从大到小的连续正整数，而所得的和恰好是最大(最中间)数的平方，因此不难得出结论是2 0112．

数与式类型问题反映了由特殊到一般的数学方法，同时培养学生的分析、归纳、抽象、概括能力，因此在处理此类问题时，一定要依据题意，从最简单情形出发，发现其中的规律，并通过大胆地猜想、归纳、验证，从而得出正确的结论．数学史上有很多重要的发现，如哥德巴赫猜想、四色猜想、费尔马大定理等就是由数学家的探索、猜想而得的.数学的学习必须不断地去探索、猜想、总结规律，这样才会有所发现、有所创造．

图1

2 函数类型

(2007年全国初中数学联赛试题改编)

解先从最简单的情形着手：求出点A1,A2,A3,A4的坐标，进而归纳猜想得到An的坐标并验证．如图1，分别过点P1,P2作x轴的垂线，垂足分别为B1,B2.设OB1=a，A1B2=b，则

解得

于是

例4如图2，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为(1,0)，将线段OM0绕原点沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到点M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到点M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn．

图2

(1)写出点M5的坐标；

(2)求△M5OM6的周长；

(3)我们规定：把点Mn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)，称之为点Mn的“绝对坐标”．根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来．

解(1)M5(-4，-4)．

(2)由规律可知，

(3)由题意知，OM0旋转8次后回到x轴的正半轴.在这8次旋转中，点Mn分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此点Mn的“绝对坐标”可分为以下3类情况：令旋转次数为n．

3 几何类型

例5如图3，观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：

(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式;

(2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．

解通过观察分析，顺着3个已知式子的书写规律即可写出式④和式⑤，进而可以推出其一般规律：

(1)因为①4×0+1=4×1-3；②4×1+1=4×2-3；③4×2+1=4×3-3，所以可类似地推得:④4×3+1=4×4-3和⑤4×4+1=4×5-3．

(2)由已知条件结合第(1)小题的结论可得，第n个图形相对应的等式为：

4(n-1)+1=4n-3．

图3

例6如图4,5,6，点D，E分别是正△ABC、正方形ABCM、正五边形ABCMN中以点C为顶点的相邻2条边上的点，且BE=CD，DB交AE于点P．

(1)求图4中∠APD的度数．

(2)图5中∠APD的度数为________，图6中∠APD的度数为________．

(3)根据前面的探索，能否将本题推广到一般的正n边形的情况.若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

图4 图5

图6 图7

分析本题从特殊图形(正三角形)出发，进行规律探索，通过对图形的观察和变化情况的分析，合理地进行猜想、验证，并由特殊到一般地进行引申推广．

解(1)由△ABC为等边三角形，可得

AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°，

又由BE=CD，得

△ABE≌△BCD，

因此

∠BAE=∠CBD，

故 ∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=

∠ABE=60°．

(2)90°，108°．

(3)能.如图7，点E，D分别是正n边形ABCM…上以点C为顶点的相邻2条边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，则

评注本题的本质就是进行归纳、猜想、类比和联想，作出判断和推理论证．

4 操作类型

第0次操作： 2 3

第1次操作： 2 5 3

第3次操作： ……

(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和；

(2)经过k次操作后所有数的和记为Sk，第k+1次操作后所有数的和记为Sk+1，写出Sk+1与Sk之间的关系式；

(3)求S6的值.

(2)由题设知S0=5，因此

所以

于是

故

图8

例8如图8所示，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第1次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第2次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△AnBnCn，则其面积Sn=________．

分析从最简单的情形出发，先求△A1B1C1的面积.连结BC1,由AC1=2AC，可得

S△ABC1=2S△ABC=2；

又由A1B=2AB，得

S△A1BC1=2S△ABC1=2×2=4，

于是S△A1AC1=S△A1BC1+S△ABC1=4+2=6.

同理可得

S△A1B1B=6；S△B1CC1=6.

因此S△A1B1C1=S△A1BB1+S△B1CC1++S△AA1C1+S△ABC=

3×6+1=18+1=19.

同理可得

S△A2B2C2=19S△A1B1C1=192；

S△A3B3C3=19S△A2B2C2=193；

…

进而可推得，S△AnBnCn=19n．

综上所述，对于这4种类型问题的求解，首先要仔细审题，看清楚题目所求的未知量是什么；然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了在寻找未知量的拓展过程中，哪些量变了，哪些量没有变；最后根据这些联系列出通项求解．在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第1项，第2项，第3项，…，然后去找其存在的规律．伟大的科学家牛顿说过，“没有大胆的猜测就做不出伟大的发现”．因此在数学教学中，要注重培养学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理论证的能力，提高学生自主学习与分析、解决问题的能力.衷心希望学生的思维能力和数学素养能得到全面的提高．