矩阵方程 A X=B的加权最小二乘对称、反对称解及其最佳逼近

周立平 邓小辉

(1. 湖南科技学院数学与计算科学系，湖南 永州 425100；2.永州市第二中学，湖南 永州 425100）

矩阵方程 A X=B的加权最小二乘对称、反对称解及其最佳逼近

周立平1邓小辉2

(1. 湖南科技学院数学与计算科学系，湖南 永州 425100；2.永州市第二中学，湖南 永州 425100）

通过矩阵的奇异值分解，求得了矩阵方程 BAX= 的在加权范数下的最小二乘解、对称最小二乘解、反对称最小二乘解，同时也导出了在相应解集中与给定矩阵最佳逼近的最小二乘解.

加权范数；最小二乘解；对称解；反对称解；最佳逼近

1 引言

由于许多科学计算需要考虑加权最小二乘问题，如在求解最小二乘问题Ax − b=min时，若A中部分系数和其对应方程的右端项精确知道，而其他系数和右端项具有一定误差，则在计算时为尽量多保留有效信息，通常会对精确知晓的系数和右端项的方程乘以较大权重因子，以增加其在最小二乘问题的重要性，也就产生了加权最小二乘问题.为简单起见，先对符号作如下约定. 设 Rm×n表示所有 m n 阶实矩阵的集合， S Rn×n表示所有n阶实对称矩阵的全体，表示所有n 阶实对称正定矩阵的全体， A SRn×n表示所有n阶实反对称矩阵的全体， O Rn×n为所有n阶实正交矩阵的全体， Im表示m阶单位矩阵， AT、 r ank ( A)分别表示矩阵A的转置与A的秩，对于 A = ( aij)m×n和表示A与B的Hadamard 积， ⋅在无说明的情况下，均指Frobenius 范数.

矩阵的加权范数通常定义如下：

定义1 设 A ∈ Rm×n，，若 r ( W A )= r (A)，则定义A的加权范数为

事实上，当 W = Im时，AW= A，表明加权范数更具有一般性.

本文旨在考虑如下两类问题：

问题I 给定 A ∈ Rm×n， B ∈ Rm×n，，则

问题II 设问题I ( a ) ,(b),(c)的解集分别为 Sa， S b， S c，给定 X ∈ Rn×n，

[1]孙继广.实对称矩阵的两类逆特征值问题[J].计算数学,1988,(3):282-290.

[2]邓远北.几类线性矩阵方程的解与PROCRUSTES问题[D].长沙:湖南大学,2003,1-99.

[3]谢冬秀,张磊.一类反对称阵的最小二乘问题[J].工程数学学报,1993,10(3):25-34.

[4]邓远北,胡锡炎.线性流形上矩阵方BXBT = D的对称解[J].数学物理学报,2004,24A(4):459-463.

[5]戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001.

[6]魏木生.广义最小二乘问题的理论和计算[M].北京:科学出版社,2006.

O151.21

A

1673-2219（2011）08-0006-05

2011－03－20

湖南省自然科学基金资助项目(编号：09JJ6014);湖南省教育厅重点资助科研项目

周立平（1978－），男，湖南永州人，硕士，讲师，湖南科技学院数学与计算科学系教师，研究方向为数值代数。（责任编校：何俊华）