一般位置直线段实长及倾角讲解方法的探讨

胡少兴 张爱武 刘静华 王运巧

1北京航空航天大学机械工程及自动化学院，北京 100191

2首都师范大学三维信息获取与应用教育部重点实验室，北京 100037

一般位置直线段实长及倾角讲解方法的探讨

胡少兴1张爱武2刘静华1王运巧1

1北京航空航天大学机械工程及自动化学院，北京 100191

2首都师范大学三维信息获取与应用教育部重点实验室，北京 100037

从观察日常生活中诸多部件或零件开始，引出一般位置直线实长及其对投影面倾角求解的必要性，给出由投影求出一般位置直线的实长及其对投影面倾角及直线与投影轴夹角的方法，总结实长、倾角和夹角的求解规律。而后通过几个典型习题的作图过程分析，加深学生对定理的理解。几轮讲述表明：采用该种形式学生不仅能够快速掌握直角三角形法，而且也能激发学生学习工程制图的兴趣。

一般位置直线；直角三角形法；实长；倾角；夹角

General location line; Right triangle method; Length; Obliquity; Angle

在日常生活中，同学们看到的联通信号塔、体育馆的屋顶、电视塔等等都是根据我们讲述的制图基本知识绘制的工程图纸加工出来的。这些物体无论选择哪个方向投影，在其工程图上，都会出现许多在三个投影面上的投影均呈类似性，既不能反映该线段的实长，也不能反映该线段对投影面倾角的一般位置直线。因此在施工过程中，必须求出实长，才能进行加工。这样不仅节省材料，而且可以加快施工速度。类似的一般位置直线的例子在机电产品的设计过程中出现的频率更是数不胜数，所以对于一般位置直线，我们必须求出实长。

对于一般位置直线，求其实长及其对投影面的倾角有直角形法或换面法[1～2]。对于这两种方法，换面法比较简单，这里着重介绍直角三角形法。对于该种方法，目前的教材[3~5]都是按照相同的方式进行讲述，并没有对其进行深入分析。本文根据作者的理解，给出由投影求出一般位置直线的实长及其对投影面倾角及直线与投影轴夹角的方法，并对实长、倾角和夹角的求解规律进行总结。

一、 直角三角形法

为了更加直观的理解一般位置直线在三个投影面的投影特性，同学们可以将三个投影面理解成教室中由地面（相当于H面）、侧墙面（相当于W面）和前墙面（相当于V面）组成。其中地面和侧墙面的交线为OY轴，地面和前墙面的交线为OX轴，侧墙面和前墙面的交线为OZ轴，一般位置直线就相当于在这三个投影面中的投影。下面我们在该三个投影面组成的立体空间中，分别讲述空间直线的实长及对各投影面倾角的求法。

例1：求空间直线AB的实长及对H面的夹角α。

解：求解过程见图1。

我们知道，直线由两点确定，要作直线的投影，实质就是作出线上两点的投影，也就是说，它的投影由直线上两点的同面投影的连线来确定。由此得到直线AB的V投影a＇b＇和H面的投影ab，其中ab垂直Bb。过A点作AA1平行于ab，则AA1垂直于Bb，由此得一直角三角形BAA1。

在该三角形中∠A1AB为空间直线AB与H面所成的倾角，定义为α；该角所对的直角边为空间直线AB的Z坐标差，另一条直角边为直线AB在H面投影ab。斜边是直线AB的实长，该角的余角为空间直线与Z轴的夹角。可见求实长、倾角及夹角最主要的问题是找到对应的直角三角形。

例2：求空间直线AB的实长及对V面的夹角β。

解：求解过程见图2。

从图中看出：对应的直角三角形为B1BA。在该三角形中，∠B1BA即空间直线AB与V面所成的夹角，定义为β；该角所对的边为空间直线AB的Y坐标差，另一条直角边为直线AB的V投影a＇b＇的长度。斜边是直线AB的实长，该角的余角为空间直线与Y轴的夹角。可见求实长、倾角及夹角最主要的问题仍是找到对应的直角三角形。

例3：求空间直线AB的实长及对W面的夹角ɣ。

解：求解过程见图3。

从图中看出：对应的直角三角形为B2BA。在该三角形中，∠B2BA即空间直线AB与W面所成的倾角，定义为ɣ；该角所对的边为空间直线AB的X坐标差，另一条直角边为直线AB的W投影a’b’的长度。斜边是直线AB的实长，该角的余角为空间直线与X轴的夹角。可见求实长及夹角最主要的问题也是找到对应的直角三角形。

综上所述，借助于直角三角形，就可以用图解法求出线段AB的实长和与投影面的倾角。这种方法称之为“直角三角形法”。

用直角三角形法求线段实长及倾角时，特别要注意倾角与两直角边一定是与同一投影面发生关系。直角三角形的构成图将这种关系表达得十分清晰。用直角三角形法求实长及对投影面的夹角总结如下：

（1）求直线的实长及对H面的倾角。首先找出空间直线的Z坐标差和直线的水平投影，然后由这两条边组成直角三角形，Z坐标差这条直角边所对应的角度为空间直线与水平投影面所成的倾角，另一条直角边所对的角度为空间直线与Z轴所成的角，斜边为实际长度；

（2）求直线的实长及对V面的夹角。首先找出空间直线的Y坐标差和直线的正面投影，由这两条边组成直角三角形，Y坐标差这条直角边所对的角度为空间直线与正立投影面所成的倾角，另一条直角边所对的角度为空间直线与Y轴所成的角，斜边为实际长度。

（3）求直线的实长及对W面的夹角。首先找出空间直线的X坐标差和直线的侧立投影，由这两条边组成直角三角形，X坐标差这条直角边所对的角度为空间直线与侧立投影面所成的倾角，另一条直角边所对的角度为空间直线与X轴所成的角，斜边为实际长度。

二、典型习题

由直角三角形的构成可知，该部分内容涉及四个基本作图问题：

已知直线的两投影，求直线与投影面的夹角和线段的实长；

已知直线的一投影及其与投影面的夹角，求直线的投影；

已知线段的一投影及其实长，求线段的投影；

已知线段的实长及其与投影面的夹角，求直线的投影。

其中第3和4可以合成一种情况，下面我们以习题方式进行讲述，以加深学生对该方法的理解。

习题1 已知直线AB的两投影，见图4，求直线AB对V面的倾角和线段的实长。

解：有两种解法，求解过程见图4。

方法一：在H投影面上作图，这里直线AB的水平投影已知，可以直接得到Y坐标差。过b点作OX轴的平行线，与a＇a相交与m，则ma的长度为Y坐标差，延长使mn=a＇b＇，连接na，得直角三角形nma、。这里na为AB的实长，直角边ma所对的夹角为空间直线AB与V面所成的倾角β。

方法二：在V投影面上作图，过a＇做直线a＇k垂直于a＇b＇，并使a＇k=am，连接kb＇，同样可得直角三角形，三角形的各边及角度含义同法一。

习题2 已知线段CD=45mm及水平投影，求其正面投影。

分析：由已知条件，由于直角三角形的斜边已知、一直角边已知，可得直角三角形。另一直角边即为两端点对H面的距离之差△Z，从而可以求出V面投影，求解过程如图5。

作图步骤：

（1）以cd为一直角边，过c点作一直线cm垂直于cd；

（2）以d点为圆心，以45为半径，作一圆弧与直线cm相交于n点，得直角三角形，cn的长度即为空间直线CD的Z坐标差；

（3）根据投影关系，得到直线CD正面投影，即c＇d＇。

习题3 已知直线AB的投影a＇b＇，与V面的倾角β=30°，求其水平投影。

分析：由直角三角形的构成图可知，若倾角为β，则该直角三角形的两条直角边一定是线段在V面的投影和两端点对V面的距离之差。a＇b＇已知，倾角已知，该直角三角形可以得到。另一直角边即为两端点对V面的距离之差△Y，从而可以求出H面投影，求解过程见图6。

作图步骤：

（1）首先，过b＇作一直线b＇n垂直于a＇b＇；

（2）过a＇点作与a＇b＇成300的直线，与直线b＇n交于m点，则b＇m即为△Y；

（3）根据投影关系，得到直线AB水平投影，即ab。

三、结论

以学生为中心，发挥学生的想象空间，从日常生活中所见到的一些事物开始，探讨求一般位置直线实长及其对投影面倾角求解的必要性，总结实长、倾角和夹角的求解规律。即在投影图上求线段的实长和倾角的方法是：以线段在某个投影面上的投影为一条直角边，以线段的两端点到该投影面的距离差为另一条直角边作直角三角形，该直角三角形的斜边就是所求线段的实长，而此斜边与投影的夹角，就是该线段对该投影面的倾角。

[1]黎孟珠,石相莉.用换面法与直角三角形法求一般位置平面实形的比较.桂林航天工业高等专科学校学报[J].2006;(2):13～14

[2]杨卫红.直角三角形法求作直线实长和投影的应用.山西建筑[J].2005;31(8):16～17

[3]何铭新,千克强.机械制图[M].第四版.北京：高等教育出版社.1997

[4]朱淑芳,蔡雨林.机械制图[M].西安:西北工业大学出版社.1992

[5]李澄,吴天生,闻百桥.机械制图[M].北京:高等教育出版社.1996

A novel instruction way for solving general line’s length and its obliquity angle between projection planes

HU Shaoxing1ZHANG Aiwu2LIU Jinghua1WANG Yunqiao1
1.School of Mechanical Engineering and Automation, Beihang University, Beijing 100191,China; 2. Ministry of Education Key Laboratory of 3D Information Acquisitionand Application,Capital Normal University, Beijing 100037,China

Basing on numerous observation of many mechanical parts and components, the importance of solving general line’s length and its obliquity angle between projection planes is discussed. A novel method for solving general line’slength and its angles between projection planes and projection axle is proposed. A generalized method for solving space line’s length and its angles between projection planes and axles is also given. Author’s teaching experiments indicate that this method can not only make students understand and master right triangle method but also can stimulate students’ interests of engineering drawing.

O221

A

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.16.123

胡少兴(1972~),男,副教授,博士。主要研究方向三维激光、逆向工程及智能控制等。