热传导方程的C-N格式区域分解方法及其稳定性分析

任丽丽，朱少红，赵凤柱

（1.天津师范大学 数学科学学院，天津 300387；2.南开大学 数学科学学院，天津 300071；3.中国人民武装警察部队学院，河北 廊坊 065000）

求解热传导方程最常用的差分方法有古典显示、古典隐式和C-N格式[1]。从并行计算的观点看，古典显格式计算简单，便于编程，但这种格式是条件稳定的r≤1/2；古典隐格式和 C-N格式是绝对稳定的，但需要解整体的线性代数方程组，不能直接实现并行计算。有限差分区域分解算法综合了显格式和隐格式的优点，是一种高效实用的方法，目前已有很多关于区域分解方法的结果，文献[2]在内边界点使用大空间步长H=mh的古典显格式，在每个子区域内使用古典隐格式求解，发展了有限差分区域分解算法。本研究基于C-N格式，设计了一种新的并行差分格式，能进一步放宽稳定性约束条件，得到稳定性条件为r<1。

1 并行差分格式的构造

考虑热传导方程：

为了对初边值问题(1)作差分逼近，首先对求解区域作网格剖分：取空间步长h=l/J和时间步长τ=T/N，其中J，N都是自然数。用2族平行直线：

将求解区域{0 ≤ x ≤ l; 0 ≤ t ≤ T }分割成矩形网格，网格节点为(xj,tn)。记

易知

定义离散L2范数（Euclid范数）：

其中

将问题(1)的求解区域[0,l]分解为2个子域[0,xk]及其中1

2 稳定性分析

定理若 r=τ/h2＜ 1，则差分方法Ⅰ的数值解按离散L2范数关于初值稳定，即存在正常数c，使方法Ⅰ的任意解，均满足不等式：

为证明定理，先给出2个引理。

引理1设

则当0

证明由(3)得：

则[(3)+(6)]/2得

利用Mn的表达式，(8)+ (9)可整理为

将(7)代入(10)得：

记

则(11)可整理为：

易知若J1非负定，则 Mn+1≤Mn。

下面讨论J1非负定的条件。

直接计算可得当r<1时，矩阵

非负定，从而J1非负定，则当0

证毕。

引理2当0

证明将（3）代入

可得

进一步有：

其中

直接计算可知，当0

非负定，即J2非负定。又因为

故有

于是

另一方面，由于0

所以

从而

证毕。下面给出定理的证明。

由引理1，当0

由引理2知

即当0

取

于是定理成立。