基于MATLAB的锁相环非线性分析

刘科江

（电子科技大学电子工程学院，四川 成都 611731）

基于MATLAB的锁相环非线性分析

刘科江

（电子科技大学电子工程学院，四川 成都 611731）

锁相环通常工作在捕捉和跟踪两种模式下的一种。在捕捉模式下，锁相环试图使 VCO的输出信号与输入信号在频率和相位上同步。但是在捕捉模式下，VCO的输出信号与输入信号的相位差可能相当大，锁相环此时工作在非线性状态，需要用非线性模型来进行分析。分析非线性模型是很困难的，常常需要进行仿真。利用 MATLAB工具，使用微分方程法研究锁相环系统的非线性特性。

锁相环；微分方程法；非线性；MATLAB

锁相环是一种相位反馈的闭环自动控制系统，环路锁定之后，平均稳态频差等于零，稳态相差为固定值，锁相环的这一重要特征使其在电视、通信、雷达、遥测遥感、测量仪表，特别是在人造卫星和宇宙飞船的无线电系统中，得到了广泛应用。近年来，锁相环路的研究日趋深入，应用更加广泛。由于鉴相器模型是非线性的，所以锁相环是一个非线性系统，很难用传统的解析方法来分析，因而我们求助于仿真。下面我们使用微分方程法来分析一个二阶锁相环的非线性特性。

（一）锁相环模型

1.锁相环框图

锁相环基本模型如图1所示。假设输入信号为

而压控振荡器的输出信号表达式假设为

锁相环的就是使 VCO的相位与输入信号的相位同步，使得他们的相位差很小

图1 锁相环框图

2.鉴相器模型

开发锁相环模型的第一步就是建立鉴相器的模型。鉴相器的特性在很大程度上决定着锁相环的工作特性。有许多种不同类型的鉴相器，而选择在特定环境下所使用的鉴相器模型取决于具体的应用。最常见的鉴相器模型就是正弦鉴相器，它的输出与输入信号的相位差的正弦成正比。正弦鉴相器可以看成是有一个乘法器和一个低通滤波器组成的，则鉴相器输出信号为

其中， )()(tt− 称为相位差。我们希望VCO的输出相位是输入相位的一个估计，因此，锁相环正常工作要求相位差趋于零。在稳态时，相位差是否为零取决于输入信号和环路滤波器。使用传递函数为 F(s)而单位冲击响应为 f(t) 的环路滤波器，对鉴相器输出进行滤波。这样，VCO的输入为

由定义，VCO的输出频率偏差与VCO的输入信号成正比，这样

式中，Kd是VCO常数，单位HzV。带入上面式子可得到

式中cvdAAKG= 。

3.非线性相位模型

从 6式可以看出， )(t与 )(t之间的关系与载波频率完全没有关系，因此仿真模型中不需要考虑载波频率。我们要寻找一个能描述 )(t与 )(t之间合适关系的模型。这种模型如图 2所示，称为锁相环非线性相位模型。由于正弦函数是非线性的，所以他是一种非线性模型。这也是一种相位模型，他建立的输入信号相位偏差和 VCO相位偏差之间的关系，而不是建立环路实际输入信号与VCO信号之间的关系。

图2 锁相环非线性相位模型

4.线性相位模型和传递函数

若相位差很小，可以做如下近似

则环路方程变为

对（8）式做拉普拉斯变换，积分变换相当除以s，时域卷积相当频域相乘，得

因此，关联VCO相位和输入相位的传递函数H(s)为

（二）仿真

1.二阶锁相环

锁相环的捕捉和跟踪特性很大程度上取决于环路阶数。锁相环实现的阶数等于传递函数H(s)中有限极点的个数。因此，锁相环实现的阶数比环路滤波器传递函数F(s)中极点个数大一，这个多出来的极点就是来及 VCO模型的积分器，下面我们分析一下二阶锁相环。

对于二阶锁相环，环路滤波器的传递函数一般形式是

实际应用中， 远小于1。对于环路线性传递函数，将滤波器传递函数代入式（10）得

2.仿真流程图

环路滤波器不是一个真分式函数，应用长除法得

其中就有

其时域表达式为

我们可以直接实现滤波器模型，并定义a1=(1−)a，a2=a。可以得到二阶锁相环的信号流程，如图3所示。

图3 二阶锁相环的信号流图

3.使用微分方程法对锁相环仿真

现在考虑使用微分方程法对锁相环进行仿真。首先导出微分方程。由图2可得

因为图2中锁相环模型中的VCO能用一个积分器表示，于是就有

把式（17）代入式（18），并应用式（11）于环路滤波器，则

假设二阶环式是“理想的”（即 =0），此问题可以得到一点简化。

由于乘s等于时域微分，所以得到微分方程

又由定义有

和

于是式子（20）可以写成

式中 )(t是锁相环的相位差，而 )(t是输入信号的相位偏差。

（三）仿真结果及分析

假设这个系统在0tt= 时刻有一个频率阶跃信号，此时，其中fΔ=1MHz。当

=0.1，环路自由振荡频率n=200KHz，则由上面的仿真模型可以得到以下结果。

1.相位误差

稳态相位误差可以用拉普拉斯变换终值定理来计算。环路的闭环相位传递函数为H(s)，则相位差传递函数为E(s)=1—H(s)，那么利用终值定理可以得到

代入以上数据，可以得到 )(∞ = 0.3755 rad，图 4中稳态相位差的结果为0.384516 rad，因此，仿真结果和理论推导结论一致。

图4 相位差

2.捕获与跟踪过程

图5显示了VCO的输出信号频率的变化过程，能看到在频率捕获过程中的“周期滑动”现象。这是在输入频率的变化大大超过环路的固有频率时，非线性同步器表现出来的特性。在图中我们也能看到相位锁定时所需要的时间。

图5 输入频率和VCO输出频率

（四）结语

本文通过建立锁相环的非线性相位模型，使用微分方程法，利用MATLAB仿真工具，从定量上分析了锁相环的非线性相位特性。从仿真图形可以看到，仿真结果与理论分析结果相吻合。通过这种分析方法，能为锁相环设计提供定量的分析，有助于电路的优化设计。

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TP273

A

1008-1151(2011)05-0060-02

2011-02-18

刘科江（1985－），男，电子科技大学电子工程学院在读硕士，研究方向微波线性和非线性电路系统。