影子价格在资源配置中的一个误用及其判定方法

郑山水 （广州铁路职业技术学院，广东 广州 510430）

·产经研究·

影子价格在资源配置中的一个误用及其判定方法

郑山水 （广州铁路职业技术学院，广东 广州 510430）

影子价格是运筹学、管理学和经济学中的一个重要概念，是线性规划对偶思想成功应用于经济管理领域并解决实际问题重要标志之一。其经济含义为，对某种资源在实现最大利润时的一种 “估价”即影子价格。它对于合理利用资源、扩大再生产与提高经济效益等都有着十分重大的意义。

1 影子价格的计算及其误用

影子价格的概念来源于对偶线性规划，设一对对偶的线性规划：

即：

因此，可以将Z*看作是关于资源的函数：

在 （4）中对bi右向偏导函数可得到：

但是，由此求出的影子价格不具备永远的指导意义，它只能在有限的范围内有效，此点往往被忽视！

如某工厂有A、B两个车间，生产甲、乙两种产品，每件产品在生产中耗用的资源量、产品的单位利润与两个车间可利用的资源总量如表1，现公司在其他条件都不变的条件下拟增加1 000单位的资源投入，为使总收益最大两个车间应该如何分配资源，各增加多少为宜？如果是增加2 620单位的资源投入呢？

表1 生产有关数据表

为获取最大利润，建立线性规划：

由单纯形法对 （6）求解得表2：

表2 初始线性规划最优单纯形表

但是，现在公司增加2 620单位的资源，是否同样可以按照上面的思维由式子 （5）计算得总收益为1 740+2 100=7 242元。但是，按单纯形表计算如表3与式子 （5）计算的结果不一致，难道影子价格的理论是错误的吗，如果不是，这是为什么呢？这其实就是影子价格在资源决策中的一个典型的误用。

2 影子价格误用的原因及其判定方法

在资源的配置中总利润Z*的增量与影子价格这种每增加一单位第i种资源带来的目标最优值的增率关系并非总是线性的，它只在限制资源bi的一定的取值范围成立，否则脱离bi的取值范围所作出的资源优化决策肯定是错误的，因为此时最优解xB=B-1b（B-1为最优基的逆矩阵，b为资源常数列向量）与影子价格可能已经发生了改变。如果要保证影子价格不发生变化，则最优基没有改变即xB=B-1b≥0。

现假设线性规划 （1）其他条件都不变，只有资源常数项bi中某一个资源常数br发生变化，其变化的量是◁br。

表3 增加A设备2 620小时的线性规划最优解

其中xB为原最优解，为xB的第 i个分量，βir为B-1的第i行第 j列元素。

为了保持最优基不变，即：

当◁br在此范围之内，最优基不变，影子价格与总利润的关系不发生改变。当◁br不在此范围之内时，将使最优解中某分量小于零，使最优基发生改变，此时要重新单纯形法求解新的影子价格。

如上面的例子由表2可知最优解xB和B-1的值为：

为保持A车间资源的影子价格不变，则原线性规划的最优解不变，下面的式子成立：

整理后得：-200/3≤◁bA≤2 600；在此范围最优解不变，A车间资源的影子价格不发生改变。

如公司增加A车间的资源量1 000单位时，即常数的变化量为◁bA=1 000在-200/3≤◁bA≤2 600范围之内，影子价格没有发生变化，所以此时总收益增加的量可以通过式子 （5）直接得到总收益变化的量即：◁z*=◁bA×=1 000×2.1=2 100 元， 此时总利润MaxZ=1 740+2 100=3 840元与单纯形表的计算结果一致。

但是公司增加2 620单位资源时，常数的变化量为◁bA=2 620，此时变化的量在-200/3≤◁b1≤2 600范围之外，其最优解已经发生了改变，影子价格也随之改变。如果此时我们还用影子价格与增加量直接相乘得到的数值◁z*=◁bA×=2 620×2.1=5 502肯定会不正确。

3 结束语

毋庸置疑，影子价格在我们的资源配置中非常重要。无论是以企业收入最大化还是利润最大化为目标，资源的影子价格在是否转让或投产的决策上具有较高的参考价值。但影子价格在资源配置中的应用仍存在一些问题。

第一，企业以总收益最大化为目标，扩大生产往往是同时增加几种相关资源而不是光增加一种资源，否则会出现边际收益递减现象。

第二，就线性规划模型而言，目标函数和约束条件都是简化的，实际情况下可能会有更多的变量和约束条件，模型中的价值系数与技术系数等同样受多种因素的影响，其中有些因素本身就具有不确定性，这些都会影响到影子价格。资源的影子价格与具体的企业及所生产的产品紧密相关，同一种资源在不同的企业，或生产不同的产品或不同的生产规模对应的影子价格可能是不相同的。就算是其他的条件都是确定，单单是资源的增减超越了一定的范围，影子价格也会发生改变。

总之，以影子价格作为企业资源配置决策的依据时需要十分谨慎，虽然影子价格在理论上对资源配置具有一定的参考价值，但在实际运用中，还需要仔细斟酌。

[1] 吴祈宗.运筹学[M].北京：机械工业出版社，2005.

[2] 马赞甫.线性规划中影子价格的 “非唯一性”[J].系统工程，2007(4):119-122.

[3] 刘舒燕.关于影子价格不唯一性讨论[J].运筹与管理，2001(6):33-36.

[4] 杨桂元.资源影子价格的灵敏度分析[J].数量经济技术经济研究，1999(4):65-68.

How to Judge the Misuse in Shadow Price of Resource Allocation

ZHENG Shan-shui (Guangzhou Institute of Railway Technical,Guangzhou 510430,China)

影子价格在资源的配置中具有重要的指导意义，但是在应用时如果不考虑资源约束项的应用范围，得出的结果将不具备指导性。运用影子价格的边际定义对其与资源常数项的关系进行考察，通过理论与实例分析影子价格在资源配置时的有效范围，避免影子价格的误用。

线性规划；影子价格；资源配置；对偶问题

Shadow price has important guiding significance for resource allocation.However,in the application we often forget the scope.In this paper,we analyze the relationship between the shadow price and the resources,through the theory and examples to judge the range of resources.All of this is in order to avoid the misuse of the shadow price.

linear programming;shadow price;resource allocation;dual problem

F224

A

2010-12-17

郑山水（1976-），男，湖南衡阳人，广州铁路职业技术学院物流管理系，讲师，中山大学博士研究生，研究方向：产业组织与流通经济、生产运作管理。

1002-3100(2011)03-0133-03