构造二次函数解决两类最值问题

李鹏

关键词：函数模型；发现规律；最值；方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：B

文章编号：1009-010X（2011）07-0064-01

最值问题是近几年各地中考所关注的热点．比如解决面积最大问题，求最大利润问题往往需要“构造”二次函数模型，进而利用二次函数的有关知识加以解决。本文举例说明，以帮助学生从中发现规律，掌握解决最值问题的方法。

一、求最大面积

例1:如图1，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S。

（1）求证：△BEF∽△CEG；

（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；

（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

二、求最大利润

例2:某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。

设每个房间每天的定价增加x元。求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

所以，当x=210，w有最大值。此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，最大值为15210元。

总评在上述问题中涉及到两个变量，就是函数问题，可建立函数模型，结合函数的性质最终求解。对于这类中考的热点问题“当某某为何值时，某某最大（或最小）？”解决的方法步骤为：

1.设变量x、y；

2.根据题意建立y与x的函数关系式；.

3.求出自变量的x的取值范围；

4.利用函数的性质，求出数学问题的解（最值）；

5.检验解的合理性，得到实际问题的解（最值）。

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