辨“中国元素”，妙解几何问题

200237 上海西南模范中学 张太树

中国古代的数学大师刘徽在公元263年的刘徽原理中阐明：任何一个多面体都可分解为长方体、堑堵、阳马、鳖臑.本文就和大家一起辨“中国元素”，妙解高中立体几何问题.

首先，来认识一下这些“中国元素”，堑堵是长方体体积的一半.

将堑堵沿以顶点到相对的一棱分割，便得到一个阳马，与一个鳖臑.

本文大胆的古为今用，把平行六面体分割出来的组件都称为堑堵、阳马、鳖臑.

1 辨“墙角型”鳖臑

特征：三线两两垂直解题思路：补成正方体或长方体.

例1 过球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA，PB，求球O的半径.

解析 构造长方体，以P为顶点的三条棱PA，PB，PC两两垂直，球O就是这个长方体的外接球，对角线PD就是球O的直径，设半径等于R，则有2R=

2 辨“正四面体型”鳖臑

特征：正四面体 解题思路：补成正方体.

例2 甲烷分子(CH4)由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构形为一个各条棱都相等的四面体，其中四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都相等.若视氢原子、碳原子为一个点，四面体的棱长为a，求碳原子到各个氢原子的距离.

解析 显然，四面体的四个顶点在以中心(碳原子)为球心，中心到各顶点(氢原子)的距离为半径的球面上.

如图，将此四面体ABCD补成正方体BD'，其中A'，B'，D'也在球面上.设碳原子到每个氢原子的距离为x，则 2x=BD'，BD'，AB(a)，AA'之间的关系是a=AB=

3 辨“直二面角型”鳖臑

特征：直二面角 解题思路：补成正方体

例3 如图4，把正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面BAC，求折叠后直线AB与直线CD所成的角.

解析 此题思路并不复杂，但按常规方法有一定的运算量，如果我们来研究如图5的正方体EFCA-QGHP，可以很容易地发现图5中的平面DAC与平面BAC即为符合题意的图形.

∴求直线AB与直线CD所成的角即求直线AF与直线CP所成的角，而正方体中CP∥QF，

∴直线AF与直线CP所成的角即为直线AF与直线QF所成的角.

∵△AFQ是正三角形，

∴直线AF与直线QF所成的角等于60°，

∴直线AB与直线CD所成的角为60°.

4 辨“古代直”阳马

特征：直四棱锥 解题思路：补成正方体或长方体.

例4 如图6，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.(1)求证：PA∥平面BDE;(2)在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF?证明你的结论.

解析 (1)略(2)原图为正方体红色部分，显然黑色平面DGH⊥PB，故平面DGH与PB交点为F.

5 辨“现代正”阳马

特征：正四棱锥 解题思路：补成正四棱柱.

由正四棱锥补成正四棱柱从而做题.

例5 如图，求所有棱长为a的最“美丽几何体的体积.

以上思路，希望给大家一点启发，与大家共勉.