四阶半幻方矩阵的空间结构

管秋琴

（上海电力学院数理学院 中国 上海 200090）

半幻方矩阵是一类比较特殊的矩阵，首先我们给出它的定义.

定义：如果一个n阶矩阵的每行上各元素之和以及每列上各元素之和都相等，那么称它为半幻方矩阵.

我们把数域F上的n阶矩阵全体记为Fn×n，那么它对于矩阵的加法和矩阵的数乘，构成数域F上一个向量空间[1]，而其中的n阶半幻方矩阵的全体构成它的一个子集，记为Sn.

下面定理说明集合Sn是一个向量空间.

定理：n阶半幻方矩阵Sn是一个向量空间.

证明：因为零矩阵0∈Sn，所以Sn是的非空子集.设A=（aij）n×n∈Sn，B=（bij）n×n∈Sn，易得 A+B=（aij+bij）n×n∈Sn，所以得到集合 Sn关于加法封闭.另一方面 λA=（λaij）n×n∈Sn,所以Sn关于数乘也封闭，因此，Sn是 Fn×n的子空间.

对于三阶半幻方矩阵[2]我们知道它的维数是5,接下来我们讨论四阶半幻方矩阵S4,首先S4是F4×4上的子空间.

下面我们给出S4的基与维数.

式：x＝（x11，x12，x13，x14，x21，x22，x23，x24，x31，x32，x33，x34，x41，x42，x43，x44）T,则 x 是线性方程组的解.则方程组的系数矩阵为

经过初等行变换得到：

这里 x22，x23，x24，x32，x33，x34，x41，x42，x43，x44为自由变量.因此线性方程组的基础解系对应的矩阵即为S4的基.所以S4的基为

［1］同济大学应用数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社,2003.

［2］邱森.线性代数探索性课题精编[M].武汉：武汉大学出版社,2011.