在概率统计课程教学中引入数学实验的尝试和思考

张广亮

(华南师范大学南海校区应用数学系,广东佛山 528225)

在概率统计课程教学中引入数学实验的尝试和思考

张广亮

(华南师范大学南海校区应用数学系,广东佛山 528225)

本文从概率统计课程特点、学生学习的主要目的及教师探究型教学需要等方面强调了将数学实验引入概率统计课程教学的必要性,结合具体实例分析了数学实验的组织实施,最后提出了概率统计课程实验教学改革的基本思路和建议。

数学实验;概率统计;探究型教学;教学改革

大学扩招以后,如何培养真正为社会所需要的应用型人才已成为高校和社会共同关注的问题。众所周知,大学数学类课程是理工、经管等相关专业教学计划中的必修课,它们的学习情况事关学生后继课程的学习,事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。由于这类课程基础性、理论性强,与相关课程的学习联系密切,是全国硕士研究生入学考试统考科目,关系到学生综合能力的培养,因此它们的学习情况也直接关系到学校的整体教学水平及应用型人才的培养。在这类课程中,概率统计与日常生活的联系更为紧密,应用更为广泛,并有其独特的思维方式,特别有助于培养学生的逻辑思维能力、推理能力、空间想象能力、自学能力、运算能力及综合运用所学知识分析解决问题的能力,有助于实现应用型人才的培养目标。因此本文以培养应用型人才为根本出发点,结合教学实际,浅谈如何将数学实验和概率统计课程有机地结合起来。

1 概率统计课程的重要性

概率统计是高等院校中涉及面最广、最重要的公共基础课之一,是数学的一个有特色且又十分活跃的分支。一方面,它有别开生面的研究课题,有自己独特的概念和方法,内容丰富,结果深刻;另一方面,它与其他学科又有紧密的联系,是近代数学的重要组成部分。由于它近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性,目前已发展成为一门独立的一级学科。由于这门课程以随机现象为研究对象,而随机现象在日常生活中无处不在,因此它对大学生数学素质的提高和应用型人才的培养具有重要作用。

第一,概率统计是一门重要的方法论课程。众所周知,必然性和偶然性是对立的统一,随机性现象和确定性现象是同时存在,也是无所不在的。概率统计从偶然性这个侧面,从对随机现象的大量观测试验中,排除个别的偶然性因素的影响,从数量的角度把握必然性联系,即统计规律性。它观察问题、分析问题、描述和处理问题的方法与其它学科都有所不同。这种观测试验与理性思维相结合的方式,为科学研究提供了一种新的逻辑推理 (如假设检验)方法。总之,从方法论的角度来说,这门课程在培养大学生观察问题、分析问题的能力方面具有其他学科无法替代的作用。

第二,概率统计的理论与方法具有广泛的应用。拉普拉斯曾经说过:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上都是概率的问题。”日常生活中的许多实际问题都需要应用概率统计的理论与方法来解决,它在科学技术与人类实践活动中发挥着越来越大的作用和影响。比如,预测和滤波应用于空间技术和自动控制,时间序列分析应用于石油勘测和经济管理,马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等。由此可见,现代人的生活、科学的发展都离不开概率统计。从某种意义上来讲,概率统计在一个国家中的应用程度标志着这个国家的科学水平。通过这门课程的学习,学生不仅能够积累概率统计的知识和方法,掌握必要的工具和技巧,还可以提高应用概率统计的理论与方法解决实际问题的能力,为后继课程的学习和工作奠定坚实的基础。

2 概率统计课程教学的现状和不足

目前,重理论、轻实践是许多高等院校概率统计课程教学的主要特点。这一教学理念,有其固有的优势,但也存在诸多弊端。该教学模式偏重基本的概念和理论,系统性强,有利于学生全面了解概率统计的结构框架,但对实践中行之有效的方法,特别是已被广泛应用的一些概率统计方法 (如实验设计等)重视不够,不利于学生将理论联系实际。这就导致了概率统计的教与学相脱节,下面从教与学两个方面进行详细阐述。

从学生学的方面来看,学生普遍觉得概率统计这门课程内容多、散乱,和以前的数学知识缺乏联系,思维方式转变较大,学习起来比较困难。根据笔者的教学经验,学生对诸如大数定律、参数估计、假设检验等知识点的学习普遍感到吃力。以“大数定律及中心极限定理”为例,传统教学过多地强调数学的推导和证明,忽略了直观的实验演示,学生对其缺乏感性认识,往往无法理解其本质。另外,传统教学方式重视对概率统计理论的阐述,但对其现实背景及应用领域的介绍甚少,更谈不上应用概率统计知识解决实际问题,致使学生对其在所学专业的应用知之甚少,学生所学知识与实际应用相脱节。这种教学模式不利于调动学生学习的积极性与能动性,也影响了教学效果。

从教师教的方面来看,教师过度重视计算技巧的演练,重视推理和证明。在教学过程中,教师注重如何将教学内容讲透、讲细、讲全。在这种思想的指导下,加上现行教学内容偏多,教学学时偏少,教师难以将更多的精力放在讲解课程知识点在日常生活中的应用上。比如,在讲解“全概率与贝叶斯公式”时,“血液检验问题”和“敏感性问题调查”等案例虽然具有较强现实背景,但是多数教师侧重于计算技巧和方法的介绍,忽略了问题的背景及实际问题到数学公式的抽象过程的介绍,忽视了培养学生用数学理论解决实际问题的能力。这就致使学生很难将所学知识点与实际相联系,无法运用所学知识去分析和解决实际问题,与培养应用型人才的目标相悖离。

由此可见,传统的概率统计教学已经不能够满足培养应用型人才的需要,迫切需要对概率统计课程进行教学改革。而在概率统计课程中引入数学实验,让学生参与课堂教学,在教师的引导下,自主探索结论,自主解决实际问题,这对培养学生学习兴趣,增强学生对知识的理解,提高学生动手能力和创新思维能力无疑是很有帮助的。

3 将数学实验引入概率统计课程教学的必要性

数学实验,其实是一类新课程的统称,泛指学生在教师的指导下用计算机和数学软件学习数学。它强调以学生动手为主,在教师的引导下,选择合适的数学软件,分析和解决一些实际问题。

由前所述,概率统计具有很强的应用性,但是传统的教学使学生仅仅学到了其理论与方法,既不知道理论的来源,也不知道理论的去处,应用于现实更是无从谈起。在这门课程教学中引入数学实验,可以极大地改变这种情况。

第一,概率统计教学中引入数学实验,可以提高学生学习的积极性。俗话说:“兴趣是最好的老师”。在概率统计的课堂教学中,增加数学实验,让学生自己动手去做,去观察,通过观察得出结论,这样,学生对所学知识就有了充分的感性认识,必将激发起学生学习的兴趣。例如,在学习了古典概型的定义之后,让学生思考这样一个有趣的问题:甲、乙两位棋手棋艺相当,他们在一项奖金为1000元的比赛中相遇,比赛为五局三胜制。已经进行了三局的比赛,结果为甲二胜一负。现因故要停止比赛,问应该如何分配这1000元奖金才算公平?有些学生可能想当然认为甲应得奖金的2/3,乙应得奖金的1/3。这个结果合不合理呢?初学的学生未必能立即想到用古典概型的定义去解决此问题。于是可以先让学生进行数学实验:在甲已经两胜一负的基础上,在计算机上模拟两位棋手以后的比赛。假定他们在以下每一局的比赛中胜负的机会各半。数学软件的随机函数可以产生随机数0或1,0与1出现的机会各一半。用随机数1表示甲胜,随机数0表示乙胜。连续模拟1000次,每次模拟到甲乙两方有一方胜了三局为止。1000次模拟结束后,计算两棋手每次的平均奖金,就是该棋手应得的奖金。模拟结果发现并非甲得2/3,乙得1/3。于是充分调动了学生进一步探究的兴趣,此时再引导他们利用古典概型的定义解决这个问题,让他们体会到用概率统计的知识解决问题的乐趣,激发他们学习的积极性。

第二,概率统计教学中引入数学实验,可以提高教师教学的效率。概率统计是研究随机现象统计规律性的一门学科,而要想获得随机现象的统计规律性,就必须进行大量重复试验,这在有限的课堂时间内是难以实现的。为此,在概率统计教学中引入数学实验,通过计算机图形显示、动画模拟和数值计算等,形成了一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境,从而大大增加了教学信息量,提高了学习效率,有效地刺激了学生的形象思维。另外,利用数学实验对随机实验的动态过程进行演示和模拟,如:投掷骰子实验、二项分布实验、泊松定理实验、随机变量分布实验、点估计相合性实验、中心极限定理的直观演示等,再现了抽象理论的研究过程,加深了学生对理论的理解及方法的运用。与此同时,让学生在接受理论知识的过程中还能体会到现代化信息技术的魅力,达到了传统教学无法实现的教学效果。

第三,概率统计教学引入数学实验,可以培养学生应用概率统计的知识解决实际问题的能力。中国科学院院士、首届国家最高科技奖获得者吴文俊先生曾经指出:“任何数学都要讲逻辑推理,但这只是问题的一个方面,更重要的是用数学去解决日常生活中、其他学科中出现的数学问题。”即数学教育不能只强调培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数学运算能力,还应该强调“用数学”的能力。概率统计作为一门应用性很强的学科,在教学中培养学生应用概率统计的知识解决实际问题的能力显得尤为重要。实际应用中的概率统计问题,往往涉及大量甚至是海量的数据,单纯依靠手算远远不能满足实际问题的需要,这就迫切需要将概率统计与SAS、SPSS、Matlab等软件包相结合,也即在概率统计的教学中引入数学实验。数学实验的引入必将激发学生解决实际问题的兴趣,培养学生解决实际问题的能力。

4 概率统计教学中数学实验的组织实施

将数学实验引入到概率统计课程教学是一种全新的教学理念,尚未形成完善的教学体系。但部分高等院校已经进行了初步的尝试和探索,并取得一定的成绩。下面笔者结合教学实践浅谈概率统计教学中数学实验的组织实施。

第一,概率统计教学应以课堂教学为主,以数学实验为辅,结合具体教学内容安排相应的数学实验。例如,在讲连续型随机变量时,指导学生运用数学软件,研究服从均匀分布、正态分布和指数分布的数据的特征,画出其分布函数和概率密度函数的图形,并结合教材实例,利用软件包求解有关事件的概率。根据学生学习的特点和记忆的规律,课堂教学与数学实验的最佳比例为2:1,即在两次课堂教学后进行一次数学实验。这样既有利于理论知识的掌握,也有利于培养学生理论联系实际的能力。

第二,数学实验的设计除应与课程内容紧密结合外,还应具有应用性和趣味性。例如,在讲授n重伯努利试验之后,可以设计实验“碰运气能否通过英语四级考试”:假如大学英语四级考试除写作占15分外,其余85道题目都为单项选择题,每道附有四个选项,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?这种既实用又有趣的实验课题,可以大大激发学生的学习兴趣。通过引导学生思考,假定作文分数为及格的情况下,85道选择题必须答对51道以上才能通过考试,引导学生将问题抽象为85重伯努利试验,并建立相应的数学模型,利用数学软件计算出靠运气通过考试的概率。通过自己动手完成实验,学生可以感受到概率统计的思想和方法在现实生活中的应用,并乐于接受新的理论以及将其用于实际问题的分析和探讨上。由此可见,新颖有趣的实验可以激发学生学习的热情及科研兴趣,深化了他们对相应知识点的理解和认识。

第三,对数学实验的实验报告应予以充分重视,并作为评定实验成绩的主要依据。在每次数学实验结束后,教师应督促学生认真完成实验报告,并根据实验报告的质量进行评分。实验报告评分的最基本标准是真实性。这要求学生自己动手完成实验,记录下自己观察到的现象并进行分析。实验报告评分的更高标准是创造性。对于有创造性的报告,可以给予高分作为鼓励。在每次数学实验开始前,教师应对前一次实验报告中存在的问题及主要创新点进行点评,并鼓励学生加入讨论。教师在引导学生学好基础知识的同时,还应注重技能的训练和能力的培养,切实提高学生分析问题和解决问题的能力。

第四,教师应提高自身的数学素养。数学实验的引入对授课教师提出了更高的要求,无论是教学内容的安排,还是数学实验的设计,都要求教师在平日的学习及备课过程中充分积累相关的素材;因为“统计是寄生的”,数学实验的引入,除了要求教师牢固掌握本专业基础知识外,还需要教师了解一些相关学科基础知识,能够清楚地介绍实际问题产生的来龙去脉;数学实验的引入,实际上是对探究性教学的一种尝试,需要教师将教学和科研有机地结合起来。经常开展科学研究的教师,只有阅读大量的文献资料,积累丰富的实验素材,在数学实验的设计及讲授方面方能做到游刃有余。

综上所述,如何能够更有效地培养大学生“用数学”的能力是大学数学教育亟待深入研究和解决的问题。本研究认为数学实验的引入是一条较好的途径。在概率统计教学中引入数学实验,等于为学生架起了一座从理论知识到实际应用的桥梁,对培养应用型人才大有裨益。

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[3]李尚志,陈发来,张韵华,等.数学实验[M].2版.北京:高等教育出版社,2004:64265.

The Thinking of Introducing Mathematical Experiment into Probability and Statistics Teaching

ZHANG Guang-liang
(Department of Applied Mathematics,South China Normal University Nanhai Campus,Foshan 528225,China)

In this paper,we emphasized the importance of introducing mathematical experiment into probability and statistics teaching from the aspects of the characteristics of probability and statistics teaching,studentsπmain learning purposes,and the need of exploratory teaching.Based on specific examples,we analyzed the organization and implementation of mathemati2 cal experiment and put forward the basic ideas and suggestionsfor the reformof experiment teachingof probability and statis2 tics curriculum.

mathematical experiment;probability and statistics;exploratory teaching;teaching reform

G642

A

1008-178X(2011)02-0085-04

2010-02-20

张广亮 (1979-),男,广东佛山人,华南师范大学南海校区应用数学系讲师,硕士,从事数学教学与数学教育研究。