考虑杆件失稳的初始缺陷单层网壳极限承载力分析

丁 阳 ，齐 麟，杨律磊，李忠献

(1. 天津大学建筑工程学院，天津 300072；2. 天津大学滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室，天津 300072)

设计单层网壳时须考虑结构的初始几何缺陷进行荷载-位移全过程分析以计算结构的极限承载力[1].目前计算初始几何缺陷单层网壳极限承载力的方法有 2种[2]：①随机缺陷模态法，利用正态随机变量模拟节点安装偏差，取一定样本容量的缺陷模态进行结构荷载-位移全过程分析计算结构极限承载力，取最小值作为设计极限承载力；②一致缺陷模态法，以最低阶屈曲模态作为结构最不利初始几何缺陷形式．随机缺陷模态法能真实反映结构的工作性能，但计算结果不稳定，依赖所选取的样本；一致缺陷模态法只需进行一次荷载-位移全过程分析，但该方法不适用于非线性效应明显的结构，这是因为：屈曲模态分析建立在线弹性假定的基础上，最低阶屈曲模态仅能反映加载最初阶段结构的变形趋势，而随着荷载的增加非线性结构的变形趋势不断变化．有学者通过算例分析指出利用一致缺陷模态法不能得到网壳结构的最小极限承载力[3]．目前对初始几何缺陷单层网壳极限承载力的研究都没有考虑杆件的失稳效应，认为按照规范选取杆件截面时已考虑了杆件稳定[2,4-5]．设计荷载作用下杆件不会失稳，然而进行荷载-位移全过程分析时结构将承受高于设计荷载的作用，杆件可能失稳．针对以上问题，本文建立了考虑失稳效应的杆件计算模型，提出了基于统一可靠度的设计极限承载力计算方法，并推导了其在一定置信水平下的误差表达式．

1 考虑失稳效应的杆件计算模型

1.1 圆钢管失稳判别条件

单层网壳结构杆件主要为空间受力圆钢管，国际标准化组织根据大量试验总结出空间受力圆钢管的失稳判别条件[6]为

式中：cf F A= ，F和A分别为轴力与杆件横截面积；eW为弹性抗弯截面模量，M1、M2分别为绕杆件截面 2个主轴的弯矩；

1L、2L为2个主轴平面内杆件无支撑长度，1k、2k为2个主轴平面内的计算长度系数，i为截面回转半径；cF、bF和ycF分别为轴压力特征值、弯曲应力特征值与局部失稳应力特征值，其表达式分别为

式中：sf为材料屈服强度；t、D分别为圆钢管的壁厚与直径；

1.2 杆件失稳前的计算模型

失稳前杆件采用 3节点塑性铰单元模拟.将杆端位移增量分为弹性部分和塑性部分

杆件弹性部分采用 Euler-Bernoulli梁单元模拟.设杆件两端编号为I、J，I端的平衡方程为

式中：iIF为 I端截面力分量；为单元弹性刚度矩阵中的元素；分别为 J端节点总位移分量与J端节点塑性位移分量.

塑性位移由塑性位移增量累加得到，J端节点塑性位移增量为

式中：ΔλJ为比例系数；SJ= FJ−αJ，αJ为J端截面背应力向量；ΦJ为J端的屈服面函数.

1.3 杆件失稳后的力学性能和计算模型

如图 1所示，杆件失稳后力学性能的变化可通过 Chen等[7]对圆钢管的轴向循环加载试验说明，杆件在 B点失稳，失稳后杆件承载力迅速下降而变形继续增加，在杆件中部截面形成塑性铰．从C点开始卸载，至D点卸载完毕并对杆件施加拉力，杆件中部截面在拉力与附加弯矩作用下再次产生塑性铰．随着拉力的增大，杆件在G-H阶段被重新拉直．可见失稳后杆件的力学性能有明显变化．

图1 轴向受力圆钢管受力全过程Fig.1 Full-range behavior of steel tube subject to axial force

失稳后杆件采用 Marshall模型[8]模拟．Marshall模型是对图1所示曲线的数学描述，其实质是如图2所示的弹塑性杆件的滞回包络线，杆件的变形只能发生在包络线内或包络线上．当杆件受拉产生塑性变形时，包络线沿横轴平移，平移距离与产生的塑性变形相同．图2中系数ξ=0.02，κ=0.28，η = 0 .03+ 0 .004LmD，Lm为杆件长度.弹性极限荷载为

图2 Marshall模型包络线Fig.2 Marshall buckling envelope

采用由两端铰接圆钢管循环加载试验总结出的Marshall模型模拟失稳后杆件，杆件计算长度最长，相同受力条件下最容易失稳，是对杆件稳定承载力的保守估计，是偏安全的．

2 结构初始几何缺陷分析方法

2.1 基本假定

节点安装偏差是多种独立影响因素的综合作用，每个因素所起的作用都比较小，由概率理论可知节点安装偏差服从正态分布[9]．假定节点安装偏差的均值为零，标准差为允许安装误差的1/2[2]，允许安装误差为 L/300(L为跨度)[1]，因此节点安装偏差服从N(0，(L/600)2)，取值范围[－L/300，L/300]．假定各个节点安装偏差相互独立，则结构初始几何缺陷为相互独立的多维随机变量．

2.2 结构计算模型

以跨度为15 m、矢跨比为1/2、长宽比为1.4的对边支承三向网格单层柱面网壳为算例，结构平面如图 3所示．杆件采用 Φ114×3.0、Φ127×3.5和Φ140×4.5三种圆钢管．

图3 结构平面Fig.3 Plane view of the structure

根据第2.1节的假定，生成200个多维随机变量与理想结构坐标叠加，形成 200个初始几何缺陷结构．采用考虑失稳效应的杆件计算模型模拟杆件计算结构的极限承载力．

2.3 结构极限承载力的分布规律

200个初始几何缺陷结构的极限承载力均值为6.265,kN/m2，标准差为0.422,kN/m2．首先进行直方图初步检验．如图 4所示，直方图两边低，中间高，左右近似对称，因此可假设结构极限承载力服从正态分布．进一步进行非参数假设检验，本文采用 K-S(Kolmogorov-Smirnov)检验方法．

图4 样本数据Fig.4 Sample data

设样本累积频数分布函数为 gn(x)，gn(x)服从理论分布函数 g ( x)，K-S检验统计量为

式中：ix为样本中第i个数据；n为样本数据总数.

K-S检验步骤为：①建立零假定0H，样本累积频数分布函数 gn(x)服从理论分布函数 g ( x)；②基于样本数据计算 Tn值；③采用显著性水平α作为检验水准；④基于理论分布函数 g ( x)计算抽样得到这样大的 Tn值，以及更大 Tn值的概率p；⑤进行判断，如果p＜α，根据小概率反证法，认为基于理论分布函数 g ( x)在一次抽样中不应当出现检验样本这样的结果，拒绝接受零假定 H0；反之，接受零假定 H0.

以 0.05为检验水准，对极限承载力分布进行假设检验．Tn= 0 .051，p= 0 .679，p ＞ 0 .05，因此结构极限承载力服从正态分布．

采用极大似然法以样本数据估计总体的均值μ与方差σ2，结构极限承载力的概率密度函数为

式中x为随机变量，在此为极限承载力.

构造似然函数

建立方程组

解方程组(13)得到μ、2σ估计量ˆμ、2ˆσ的表达式为

算例结构极限承载力总体的均值μ与方差2σ的估计量分别为6.265与0.177.

2.4 基于统一可靠度的设计极限承载力

任意结构极限承载力为 Pcr，令 b =(Pcr−μ ˆ)/ σˆ ，则 Pcr为最小极限承载力的概率，即将 Pcr作为设计极限承载力的可靠度为

定义初始几何缺陷结构的设计极限承载力crdP 为总体均值估计量减去2倍的标准差估计量，即

由式(15)可算出crdP 的可靠度为0.977.

随机缺陷模态法所取的设计极限承载力为 200个极限承载力中的最小值 5.012,kN/m2，可靠度为0.998．本文随机生成另外 200个缺陷结构，按随机缺陷模态法得到的极限承载力为 5.410,kN/m2，对应的可靠度为 0.979．随机缺陷模态法确定的设计极限承载力依赖于节点安装偏差样本，采用不同样本计算出的数值不同，对应的可靠度也不同，无法得到稳定的、可靠度统一的设计极限承载力．不考察可靠度仅取最小值的方法在工程设计中不经济.

以前10阶屈曲模态作为初始几何缺陷分布形式计算结构极限承载力，节点最大安装偏差仍取 L/300，计算出的极限承载力及相应的可靠度如表1所示．

表1 以屈曲模态为缺陷形式算出的极限承载力与可靠度Tab.1 Ultimate bearing capacities and reliabilities of structures with geometrical imperfections of buckling models

由表1可看出，采用一致缺陷模态法不能计算出结构最小极限承载力．采用1～10阶屈曲模态作为初始几何缺陷分布形式算出的结构极限承载力无规律可循，因此无法通过一次计算确定结构的设计极限承载力．这是由于采用了考虑失稳效应的杆件模型，杆件失稳前后力学性能显著变化，结构的非线性效应显著，结构变形趋势与加载初期有很大不同，与一致缺陷模态法的理论基础完全不同．

2.5 设计极限承载力的误差

如果所取的结构初始几何缺陷模态无穷多，理论上可算出可靠度为 0.977的设计极限承载力的真实值craP ．实际计算所取的样本容量是有限的，考虑计算成本，样本容量也不可能非常大，因此需要确定以有限容量样本算出的设计极限承载力与真实值之间的误差是否满足工程设计的要求．

已知结构极限承载力服从 N (μ, σ2)，则样本平均数则u服从标准正态分布 (0,1)N ．假定结构极限承载力的方差与方差估计量相同，当置信水平为1α−时，可靠度为0.977的设计极限承载力的误差为

式中10.5uα−为分位数，使的概率为1α−.

由式(17)可知，设计极限承载力的误差与样本容量算术平方根的倒数成正比．本文算例的设计极限承载力在0.95的置信水平下相对误差仅为0.461%．

3 杆件失稳对设计极限承载力的影响

由式(16)计算出算例结构的设计极限承载力为5.423,kN/m2，5.423,kN/m2作用下结构的变形如图 5所示，虚线代表失稳杆件．可见承载极限状态下结构部分杆件发生失稳．

图5 结构变形示意(放大10倍)Fig.5 Deformation of the structure(magnified 10 diameters)

采用不考虑失稳效应的梁单元模拟结构杆件，计算第 2.2节中200个初始几何缺陷结构的极限承载力．计算得到可靠度为 0.977的设计极限承载力为13.729,kN/m2，服从 N(14.695，0.233)，明显大于考虑杆件失稳效应计算的数值．不考虑杆件失稳效应，则杆件承载力的降低完全由材料屈服引起，导致计算出的结构极限承载力明显大于实际情况．因此计算结构极限承载力时应考虑杆件失稳效应．

4 结 论

(1) 采用不同的计算模型模拟杆件失稳前后的力学性能，建立了考虑失稳效应的杆件计算模型．

(2) 采用正态分布随机变量描述单层网壳结构的初始几何缺陷，考虑杆件失稳效应，计算初始几何缺陷结构的极限承载力．假设初始几何缺陷单层网壳的极限承载力服从正态分布，通过非参数假设检验方法进行了验证，利用极大似然估计法推导了该正态分布的均值与方差估计量的表达式．

(3) 提出了基于统一可靠度的单层网壳结构设计极限承载力计算方法，并推导了其在一定置信水平下的误差表达式．

(4) 承载极限状态下单层网壳结构部分杆件发生失稳，不考虑杆件失稳效应会高估结构承载力．

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